Degré (théorie des graphes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le degré (ou valence) d'un sommet d'un graphe est le nombre de liens (arêtes ou arcs) reliant ce sommet, avec les boucles comptées deux fois^[1]. Le degré d'un sommet ${\displaystyle s}$ est noté ${\displaystyle \deg(s)}$.

Un graphe ${\displaystyle G}$ non orienté où on a indiqué le degré de chaque sommet sur ce sommet. Dans ce graphe, le degré maximal est ${\displaystyle \Delta (G)=5}$ et le degré minimal est ${\displaystyle \delta (G)=0}$.

Graphe orienté

Dans le cas d'un graphe orienté, on parle aussi du degré entrant d'un sommet ${\displaystyle d^{-}(s)}$, c'est-à-dire le nombre d'arcs dirigés vers le sommet ${\displaystyle s}$, et du degré sortant de ce sommet ${\displaystyle d^{+}(s)}$, c'est-à-dire le nombre d'arcs sortant de ${\displaystyle s}$. On a ${\displaystyle \deg(s)=d^{+}(s)+d^{-}(s)}$ : le degré du sommet est la somme du degré sortant et du degré entrant.

Caractéristiques

Le degré maximal d'un graphe ${\displaystyle G}$, noté ${\displaystyle \Delta (G)}$, et le degré minimal de ce graphe, noté ${\displaystyle \delta (G)}$, sont respectivement le maximum et le minimum des degrés de ses sommets. Dans un graphe régulier, tous les sommets ont le même degré, et on peut donc parler du degré du graphe.

Bibliographie

• Alain Bretto, Alain Faisant et François Hennecart, Elements of Graph Theory: From Basic Concepts to Modern Developments, European Mathematical Society Press, 2022 (ISBN 978-3-98547-017-4, lire en ligne)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Degree (graph theory) » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Reinhard Diestel, Graph Theory [détail des éditions], p. 5.

Article connexe

• Matrice des degrés
• Problème de réalisation de graphe, qui consiste, étant donné une liste de degrés, à décider s'il existe un graphe réalisant cette liste.
• Algorithme de Havel-Lakimi, algorithme pour le problème précédent
• Lemme des poignées de main, qui lie les degrés et le nombre d'arêtes
• Graphe eulérien, et le théorème d'Euler où le degré des sommets permet de savoir un parcours eulérien, ou bien un cycle eulérien existe

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