Demi-groupe de Munn

En mathématiques, et notamment en algèbre, le demi-groupe de Munn est le demi-groupe inversif des isomorphismes entre les idéaux principaux d'un demi-treillis. Ce demi-groupe est nommé d'après l'algébriste britannique Walter D. Munn.

Construction

Soit ${\displaystyle E}$ un demi-treillis. Pour ${\displaystyle e\in E}$, on note

${\displaystyle Ee=\{i\in E\mid i\leq e\}}$.

C'est un idéal principal de ${\displaystyle E}$. Pour ${\displaystyle e,f\in E}$, on note ${\displaystyle T_{e,f}}$ l'ensemble des isomorphismes de ${\displaystyle Ee}$ sur ${\displaystyle Ef}$.

Le demi-groupe de Munn du demi-treillis E est par définition l'ensemble ${\displaystyle T_{E}=\{T_{e,f}:(e,f)|inE\}}$, muni de l'opération de composition des applications.

On observe que ${\displaystyle T_{E}}$ est un sous-demi-groupe du demi-groupe inversif symétrique ${\displaystyle I_{E}}$ de toutes les bijections partielles de ${\displaystyle E}$. Les idempotents du demi-groupe de Munn sont les applications identités partielles à domaine ${\displaystyle Ee}$.

Théorème

Pour tout demi-treillis ${\displaystyle E}$, le demi-treillis des idempotents du demi-groupe de Munn ${\displaystyle T_{E}}$ est isomorphe à ${\displaystyle E}$.

Exemple

Soit ${\displaystyle E=\{0,1,2,...\}}$ l'ensemble des entiers naturel. Alors ${\displaystyle E}$ est un demi-treillis pour l'ordre usuel (${\displaystyle 0<1<2<\cdots }$). Les idéaux principaux de ${\displaystyle E}$ sont les parties finies ${\displaystyle En=\{0,1,2,\dots ,n\}}$ pour tout ${\displaystyle n}$. Par conséquent, deux idéaux principaux ${\displaystyle Em}$ et ${\displaystyle En}$ sont isomorphes si et seulement si ${\displaystyle m=n}$. L'ensemble ${\displaystyle T_{n,n}}$ des isomorphismes est réduit à l'application identité ${\displaystyle 1_{En}}$ de En sur lui-même, et ${\displaystyle T_{m,n}=\emptyset }$ si ${\displaystyle m\neq n}$. On a donc ${\displaystyle T_{E}=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\ldots \}}$ et comme tous ces éléments sont idempotents, ${\displaystyle T_{E}}$ est isomorphe à ${\displaystyle E}$.