Espace Lp

En mathématiques, un espace L^p est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L^∞ de fonctions bornées. Les espaces L^p sont appelés espaces de Lebesgue.

Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L^p est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque 0 < p < 1, l'intégrale définit une quasi-norme qui en fait un espace complet. Il existe en outre une dualité entre les espaces d'exposants p et q conjugués, c'est-à-dire tels que ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1.

Les espaces L^p généralisent les espaces L² des fonctions de carré intégrable, mais aussi les espaces ℓ^p de suites de puissance p-ième sommable.

Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de distributions ou en se contentant d'une intégrabilité locale.

Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement dérivables ni même continues.

Définition

Exposant fini

La norme p sur l'espace vectoriel de dimension finie Rⁿ s'étend aux fonctions continues sur un segment [a, b] par

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(t)|^{p}\,\mathrm {d} t\right)^{1/p}}$

et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré (X, A, μ) et à valeurs réelles ou complexes et de puissance p intégrable par :

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}.}$

Sur un domaine X d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.

Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le complémentaire d'un ensemble négligeable. L'espace L^p(X, A, μ) est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions mesurables p intégrables, souvent noté : ℒ^p(X, A, μ), par le sous-espace vectoriel des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Dans le cadre de la théorie de Riemann, l'espace L^p(R) peut aussi se définir par un procédé de complétion.

Exposant infini

L'espace ℒ^∞(X, A, μ) est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de la semi-norme « borne supérieure essentielle ».

Ensuite, l'espace vectoriel normé L^∞(X, A, μ) est, comme précédemment, le quotient de ℒ^∞(X, A, μ) par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

Exemples

Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu discrète, et que μ est la mesure de comptage, l'espace L^p(X, A, μ) n'est autre que l'espace ℓ^p(N) des suites réelles dont la puissance d'exposant p est sommable.

Avec X = R muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue :

• la fonction x ↦ 1/x restreinte à [1, +∞[ est dans L², mais pas dans L¹ ;
• la fonction indicatrice de Q, définie sur R, qui vaut 1 en chaque nombre rationnel et 0 partout ailleurs, est dans L^∞ et coïncide, dans cet espace, avec la fonction constante de valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est négligeable.

Propriétés

Norme et complétude

L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la fonction nulle dans L^p(X, A, μ). En outre, elle est positivement homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire λ,

${\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |~\|f\|_{p}}$.

Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaire que pour p supérieur ou égal à 1. Les espaces L^p pour 1 ≤ p ≤ ∞ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie : c'est le théorème de Riesz-Fischer, qui démontre au passage que toute suite de Cauchy dans L^p possède une sous-suite qui converge presque partout.

Pour 0 < p < 1, ║ ║ est seulement une quasi-norme et L^p est seulement un F-espace, c'est-à-dire un espace vectoriel topologique métrisable complet, pour une distance invariante par translations : d_p(f, g) = ║f – g║_p^p, mais il n'est pas localement convexe donc pas normable.

Inclusions

• Si la mesure est finie alors, d'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, la famille des espaces L^p est décroissante, avec des injections continues :
  ${\displaystyle {\text{si }}\mu (X)<+\infty {\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{q},\|f\|_{q}\leq 1}\|f\|_{p}=\|\mu (X)^{\frac {-1}{q}}\|_{p}=\mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}.}$
  Il existe une réciproque forte pour les mesures σ-finies.
• Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille des L^p est croissante, avec des injections continues :
  ${\displaystyle {\text{si }}\inf _{\mu (A)>0}\mu (A)=\varepsilon >0{\text{ alors }}0<p\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\subset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\sup _{f\in \mathrm {L} ^{p},\|f\|_{p}\leq 1}\|f\|_{q}=\varepsilon ^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}}.}$
  On a le même type de réciproque que ci-dessus : s'il existe p et q, avec 1 ≤ p < q ≤ +∞, tels que L^p ⊂ L^q, alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même ε > 0^[1].
• Dans le cas où l'espace X est un ensemble fini muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces L^p sont identifiés à un même espace vectoriel normé de dimension finie.
• À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctions^[2] n'appartenant qu'à un seul L^p.
• Dans tous les cas,
  ${\displaystyle 1\leq p\leq r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{p}\cap \mathrm {L} ^{q}\subset \mathrm {L} ^{r}}$
  et pour tout f ∈ L^p∩L^q, sur l'intervalle [p, q], le logarithme de la fonction r ↦ ║f║_r est une fonction convexe de 1/r^[3].
• L'inégalité de Tchebychev permet de prouver que pour tout r < ∞ et tout f ∈ L^r, on a^[3] :
  ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|f\|_{p}.}$

Dualité

Pour 1 < p < +∞ et pour toute mesure, L^p est réflexif et son dual topologique s'identifie à l'espace L^q, où q est défini de façon que ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1.

Si la mesure est σ-finie, le dual de L¹ est L^∞ et le dual de L^∞ contient strictement L¹ (sauf cas triviaux).

L¹([0, 1]) n'est le dual d'aucun espace, tandis que ℓ¹ est le dual de nombreux espaces, dont celui des suites de limite nulle.

Démonstration de (L^p)' ≃ L^q, pour 1 ≤ p < +∞ et ¹⁄_p + ¹⁄_q = 1 (en supposant, si p = 1, que la mesure est σ-finie^[4])

L'inégalité de Hölder et son cas extrémal fournissent immédiatement un plongement isométrique J de L^q dans (L^p)'. Il reste à montrer que toute forme linéaire φ sur L^p de norme 1 est de la forme J(g) pour un certain g de L^q.

• Si 1 < p < +∞, on sait que L^p est un espace uniformément convexe donc il existe dans L^p un vecteur unitaire f tel que φ(f) = 1^[5]. Pour ce f, soit g l'élément de L^q calculé dans le cas extrémal de l'inégalité de Hölder ; par construction, son image ψ par J vérifie : ψ(f) = 1 = ║ψ║. Or, toujours par convexité uniforme, L^p est strictement convexe donc lisse donc il existe une unique forme linéaire sur L^p vérifiant ces conditions. On conclut que la forme linéaire φ de départ s'écrit : φ = ψ = J(g).
• Si p = 1 :
  • Traitons d'abord le cas où la mesure μ sur l'espace mesuré (X, A) est finie. En posant dans ce cas, pour tout E ∈ A : ν(E) = φ(1_E), on obtient une mesure signée ν vérifiant, pour tout E ∈ A : |ν(E)| ≤ μ(E). Le « petit » théorème de Radon-Nikodym (pour μ finie) fournit alors une fonction g ∈ L¹(μ) telle que ν = gμ donc telle que (par limite uniforme de fonctions étagées) :
    ${\displaystyle \forall f\in \mathrm {L} ^{\infty }(\mu ),~\varphi (f)=\int fg\mathrm {d} \mu .}$
    De plus, d'après une propriété générale de l'intégrale de Lebesgue, |g| ≤ 1 μ-presque partout car
    ${\displaystyle \forall E\in A,~\left|\int _{E}g\mathrm {d} \mu \right|=|\nu (E)|\leq \mu (E).}$
    La fonction g ∈ L¹(μ) appartient donc même à L^∞(μ) et la formule précédente s'étend par densité :
    ${\displaystyle \forall f\in \mathrm {L} ^{1}(\mu ),~\varphi (f)=\int fg\mathrm {d} \mu .}$
    Dans le cas où μ est finie, on a donc bien mis φ sous la forme J(g).
  • Dans le cas général où μ est seulement σ-finie, on partitionne X en une suite de X_n de mesures finies et l'on construit de même sur chaque X_n une fonction g_n, nulle hors de X_n. Leur somme g vérifie ainsi : g ∈ L^∞(μ) et φ = J(g).

Densité et séparabilité

Pour tout p ∈ [1, +∞], les fonctions étagées appartenant à L^p forment un sous-espace dense de L^p.

Pour p < +∞, on en déduit que :

• si la mesure est σ-finie et si la tribu est engendrée par un ensemble dénombrable de parties — en particulier si c'est la tribu borélienne d'un espace à base dénombrable — alors L^p est séparable^[6] ;
• si X est un espace séparé localement compact, muni de sa tribu borélienne et d'une mesure quasi-régulière, les fonctions continues à support compact forment un sous-espace dense de L^p[7] ;
• si X est un ouvert de ℝⁿ (muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace des fonctions infiniment dérivables et à support compact est encore dense dans L^p[8].