Fonction carré

En analyse réelle, la fonction carré^[1] est la fonction qui associe à chaque nombre réel son carré, c’est-à-dire le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.

Fonction carré

Courbe représentative de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$.

Notation	${\displaystyle x^{2}}$
Réciproque	${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$
Dérivée	${\displaystyle 2x}$
Primitives	${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Ensemble image	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$
Parité	paire

Valeurs particulières

Valeur en zéro	0
Limite en +∞	+∞
Limite en −∞	+∞
Minima	0

Particularités

Zéros	0
Points fixes	0 ; 1

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Cette fonction puissance, qui peut s’exprimer sous la forme x ↦ x² = x × x est une fonction paire, positive et dont la courbe est une parabole d’axe vertical, de sommet à l’origine et orientée dans le sens des ordonnées positives. Comme fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [0, +∞[, elle induit une bijection de cet intervalle dans lui-même, admettant pour réciproque la fonction racine carrée.

La fonction carré est aussi le premier exemple de fonction du second degré, et se généralise à plusieurs variables avec la notion de forme quadratique. Elle s’étend également au plan complexe comme une fonction entière avec une racine double en 0.

Propriétés

Signe

La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel x, le réel x × x est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.

Parité

La fonction est paire : f(x) = f(–x) pour tout réel x. En effet, (–x) × (–x) = x × x.

Convexité

La fonction carré est strictement convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$. En effet, sa dérivée seconde est strictement positive : f '' = 2 > 0.

Résolution d'équation de type x2 = a

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation x² = a. Il y a trois cas possibles :

• a < 0 : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
• a = 0 : une solution, x = 0 ;
• a > 0 : deux solutions, √a et –√a.

Par exemple, les solutions de x² = 9 sont 3 et –3.

On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ (c'est une fonction linéaire donc impaire)^[2]. Elle est donc (strictement) négative sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$ et positive sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$, si bien que la fonction carré est (strictement) décroissante sur ]–∞ , 0] et croissante sur [0, +∞[. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

Intégrale

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

donc pour la fonction carré définie par ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {b-a}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$

Primitive

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g_C définies par, pour C une constante réelle arbitraire :

${\displaystyle g_{C}(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$.

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Extension au domaine complexe

On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant ${\displaystyle f:z\rightarrow z^{2}}$. Par exemple, si ${\displaystyle z=2+\mathrm {i} }$, ${\displaystyle f(z)=3+4\mathrm {i} }$. ${\displaystyle f}$ peut être aussi considérée comme une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la fonction qui au couple ${\displaystyle (x,y)}$ associe le couple ${\displaystyle (x^{2}-y^{2},2xy)}$ puisque, en écrivant ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$, on a^[3] ${\displaystyle z^{2}=x^{2}-y^{2}+2\mathrm {i} xy}$.

ouverts conformes

La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de Cauchy-Riemann^[4],[5].

La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.

La fonction carré sert également^[6] à illustrer le théorème de l'application conforme.