Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire telle que le seul vecteur orthogonal, à gauche ou à droite, de tous les vecteurs selon cette forme est le vecteur nul {0}.

Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.

Définitions

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.

• On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul ${\displaystyle y_{0}}$ de F (resp. ${\displaystyle x_{0}}$ de E) tel que ${\displaystyle f(x,y_{0})=0}$ pour tout ${\displaystyle x\in E}$ (resp. ${\displaystyle f(x_{0},y)=0}$ pour tout ${\displaystyle y\in F}$).
• On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :${\displaystyle S_{d}(f)=\{y\in F,\ \forall x\in E,\ f(x,y)=0\}}$
• On définit de même l'espace singulier à gauche ${\displaystyle S_{g}(f)\subset E.}$
• On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.

Propriétés

• Pour un vecteur x de E, notons ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ la fonction partielle de f qui à ${\displaystyle y\in F}$ associe ${\displaystyle f(x,y)}$. C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application ${\displaystyle {\hat {f}}}$ de E dans F* qui à ${\displaystyle x}$ associe ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ est linéaire. Par construction,${\displaystyle S_{g}(f)=\ker {\hat {f}}.}$
• Si E et F sont de dimension finie, ${\displaystyle S_{g}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}}$ si et seulement si ${\displaystyle S_{d}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}}$, et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
• Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

Références

• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, vol. II : Algèbre, Chapitre 9, Berlin, Hermann, 1959 (réimpr. 2007), 205 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, présentation en ligne)

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