Top Qs
Chronologie
Chat
Contexte

Formule d'inversion de Pascal

De Wikipédia, l'encyclopédie libre

Remove ads

La formule d'inversion de Pascal est une formule qui traduit l'involutivité de la transformation binomiale.

Énoncé

Résumé
Contexte

Soit et deux suites à valeurs dans un groupe abélien, par exemple (ℝ, +). Pour tout entier naturel , on a

si et seulement si

,

où les désignent les coefficients binomiaux.

Remove ads

Démonstration

Résumé
Contexte

Deux suites et sont liées par si et seulement si leurs séries formelles génératrices exponentielles et vérifient .

On a alors , c'est-à-dire (d'après cette même équivalence) .

Pour d'autres démonstrations, voir le § « Formulation alternative » de l'article sur la transformation binomiale (qui utilise le théorème d'interpolation de Newton) et la leçon « Formule d'inversion de Pascal » sur Wikiversité.

Remove ads

Applications classiques

Résumé
Contexte

On peut se servir de cette formule en dénombrement, en particulier pour calculer le nombre de dérangements d'un ensemble fini ou le nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre.

Nombre de dérangements d'un ensemble fini

Notons le nombre de dérangements — c'est-à-dire de permutations sans point fixe — d'un ensemble à n éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

.

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre

Notons le nombre de surjections d'un ensemble à éléments sur un ensemble à éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

.

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Remove ads

Version polynomiale

Résumé
Contexte

Une autre version de cette inversion avec au lieu de  :

Soit un polynôme

(à coefficients dans un anneau, ou même seulement un groupe abélien), on a

.

En effet, la m-ième différence finie de est égale d'une part à et d'autre part à .

Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads