Formules trigonométriques en kπ/7

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de π/7.

Valeur et construction approchées

Tracé (approximatif) d'un angle de ${\displaystyle {\dfrac {\pi }{7}}}$.

Le nombre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}}$ a pour développement décimal : ${\displaystyle 0{,}9009688...}$ , suite A073052 de l'OEIS.

On a donc avec une assez bonne approximation :

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\simeq {\frac {9}{10}}}$.

Cette valeur permet de construire à la règle et au compas un angle ayant une mesure proche de ${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$. On trace un segment [AB] et un point P tel que ${\displaystyle AP={\frac {9}{10}}AB}$. Soit C le point d'interception entre le cercle de centre A et de rayon AB avec la perpendiculaire à (AB) passant par P. Alors l'angle ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$ a une mesure proche de ${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$.

Si on dispose sept cure-dents identiques de sorte que A, X, Y, B soient alignés, l'angle en A vaut ${\displaystyle \pi /7}$.

Constructibilité

Le nombre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}}$ n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'heptagone régulier.

Par contre ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}}$ est "cure-dents-constructible", comme indiqué dans la figure ci-contre ^[1]. Cette construction a été trouvée en 1973 par Crockett Johnson en jouant avec des cure-dents dans un café ^[2]. On peut aussi l'obtenir à partir d'un heptagone articulé avec des barres de même longueur.

Quelques solutions d'équations

• L'équation ${\displaystyle x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{8}}=0}$ a pour solutions :

  ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}},\quad -\cos {\frac {2\pi }{7}},\quad \cos {\frac {3\pi }{7}}}$^[3] .

Démonstration

Remarquons que ${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{7}}=\cos \left(\pi -{\frac {3\pi }{7}}\right)=-\cos {\frac {3\pi }{7}}}$ ; ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{7}}}$ est donc solution de

${\displaystyle \cos 4\theta =-\cos 3\theta .\quad (1)}$

Cherchons les autres. (1) s'écrit ${\displaystyle \cos 4\theta =\cos(\pi -3\theta )}$ qui équivaut à ${\displaystyle 4\theta =\pi -3\theta +2k\pi }$ ou ${\displaystyle 4\theta =3\theta -\pi +2k\pi }$, et on obtient ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{7}}+2k{\frac {\pi }{7}}}$ ou ${\displaystyle \theta =-\pi +2k\pi }$.

Si on pose ${\displaystyle x=\cos \theta }$, on remarque donc que (1) équivaut à ${\displaystyle x=\cos {\frac {\pi }{7}},\cos {\frac {3\pi }{7}},\cos {\frac {5\pi }{7}}=-\cos {\frac {2\pi }{7}},{\text{ou}}-1}$.

Or ${\displaystyle \cos 4\theta =8x^{4}-8x^{2}+1}$ et ${\displaystyle \cos 3\theta =4x^{3}-3x}$.

Donc (1) équivaut à ${\displaystyle 8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-3x+1=0}$. ${\displaystyle -1}$ étant solution, on peut factoriser par ${\displaystyle x+1}$ et on obtient que

(1) équivaut à ${\displaystyle (x+1)(8x^{3}-4x^{2}-4x+1)=0}$.

En divisant par 8, on obtient que ${\displaystyle x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{8}}=0}$ a bien pour solutions ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}},\cos {\frac {3\pi }{7}},-\cos {\frac {2\pi }{7}}}$.

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}}$ est donc un nombre algébrique, mais on peut montrer qu'il n'est pas exprimable par radicaux réels (l'équation ci-dessus présente un casus irreducibilis) ; on peut cependant l'exprimer par radicaux cubiques et carrés complexes : si ${\displaystyle u={\frac {-1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$, ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left(1+{\sqrt[{3}]{\frac {49}{u}}}+{\sqrt[{3}]{7u}}\right)}$.

• Donc l'équation ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x+1=0}$ a pour solutions : ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{7}},-2\cos {\frac {2\pi }{7}},2\cos {\frac {3\pi }{7}}}$ , ce qui montre que ${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{7}}}$ est un entier algébrique.
• L'équation ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x+{\frac {1}{7}}=0}$ a pour solutions :

  ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad {\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad -{\frac {\tan {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$^[3] .

Démonstration

En itérant la formule ${\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}}$, on obtient que ${\displaystyle \tan 7\theta ={\frac {t(t^{6}-21t^{4}+35t^{2}-7)}{1-21t^{2}+25t^{4}-7t^{6}}}}$, où ${\displaystyle t=\tan \theta }$.

Comme ${\displaystyle \tan 7\theta =0\Leftrightarrow \theta =k\pi /7}$, les 6 solutions de ${\displaystyle t^{6}-21t^{4}+35t^{2}-7=0}$ sont ${\displaystyle \pm \tan \pi /7,\pm \tan 2\pi /7,\pm \tan 3\pi /7}$.

En remplaçant ${\displaystyle t}$ par ${\displaystyle x{\sqrt {7}}}$, on obtient que ${\displaystyle 49x^{6}-147x^{4}+35x^{2}-1=0}$ a pour solutions ${\displaystyle \pm {\frac {\tan \pi /7}{\sqrt {7}}},\pm {\frac {\tan 2\pi /7}{\sqrt {7}}},\pm {\frac {\tan 3\pi /7}{\sqrt {7}}}}$.

Or ${\displaystyle 49x^{6}-147x^{4}+35x^{2}-1=(7x^{3}-7x^{2}-7x-1)(7x^{3}+7x^{2}-7x+1)}$.

Une étude permet de déterminer que les solutions de ${\displaystyle 7x^{3}+7x^{2}-7x+1=0}$ sont ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad {\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad -{\frac {\tan {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ et celles de ${\displaystyle 7x^{3}-7x^{2}-7x-1=0}$ leurs opposées.

• Donc l'équation ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}-49x+49=0}$ a pour solutions : ${\displaystyle {\sqrt {7}}\,\tan {\frac {\pi }{7}},{\sqrt {7}}\,{\tan {\frac {2\pi }{7}}},-{\sqrt {7}}\,\tan {\frac {3\pi }{7}}}$ ce qui montre que ${\displaystyle {\sqrt {7}}\tan {\frac {\pi }{7}}}$ est un entier algébrique.
• L'équation

  ${\displaystyle x^{3}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {1}{56}}=0}$

  a pour solutions :

  ${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad -{\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},\quad -{\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$^[4] .

Démonstration

Si ${\displaystyle x={\frac {\tan \theta }{\sqrt {7}}}}$, alors ${\displaystyle y={\frac {\sin(2\theta )}{\sqrt {7}}}={\frac {2x}{1+7x^{2}}}}$ d'après la formule du sinus de l'angle double en fonction de la tangente.

Or pour ${\displaystyle \theta =\pi /7,2\pi /7,-3\pi /7}$, l'équation précédente montre que ${\displaystyle x^{2}(x+1)=x-1/7}$, donc ${\displaystyle y={\frac {2x}{1+7x^{2}}}={\frac {2x}{1+7{\frac {x-1/7}{x+1}}}}={\frac {x+1}{4}}}$, et ${\displaystyle x=4y-1}$.

Si donc on remplace ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 4x-1}$, dans ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x+{\frac {1}{7}}=0}$ on obtient une équation vérifiée par ${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},{\frac {\sin {\frac {4\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}={\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},-{\frac {\sin {\frac {6\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}=-{\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$ ; l'équation obtenue est ${\displaystyle x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {1}{56}}=0}$.

En changeant ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle -x}$, on obtient l'équation ${\displaystyle x^{3}+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {1}{56}}=0}$ vérifiée par ${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},-{\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}},-{\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}}$.

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux équations précédentes :

• ${\displaystyle {\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{7}}-\cos {\frac {2\pi }{7}}+\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}}\\\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}-\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}+\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{7}}+\tan {\frac {2\pi }{7}}-\tan {\frac {3\pi }{7}}=-{\sqrt {7}}\\\tan {\frac {\pi }{7}}\tan {\frac {2\pi }{7}}\tan {\frac {3\pi }{7}}={\sqrt {7}}\\\tan {\frac {\pi }{7}}\tan {\frac {2\pi }{7}}-\tan {\frac {\pi }{7}}\tan {\frac {3\pi }{7}}-\tan {\frac {2\pi }{7}}\tan {\frac {3\pi }{7}}=-7\end{cases}}}$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\sin {\frac {\pi }{7}}-\sin {\frac {2\pi }{7}}-\sin {\frac {3\pi }{7}}=-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\\sin {\frac {\pi }{7}}\sin {\frac {2\pi }{7}}\sin {\frac {3\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{8}}\\\sin {\frac {\pi }{7}}\sin {\frac {2\pi }{7}}+\sin {\frac {\pi }{7}}\sin {\frac {3\pi }{7}}-\sin {\frac {2\pi }{7}}\sin {\frac {3\pi }{7}}=0\end{cases}}}$

Autres relations

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}=2\cos ^{2}{\frac {\pi }{7}}-1={\frac {1}{4\cos {\frac {\pi }{7}}-2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{7}}=-\cos {\frac {4\pi }{7}}=1-2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{4\cos {\frac {2\pi }{7}}+2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}=-\cos {\frac {6\pi }{7}}=1-2\cos ^{2}{\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2-4\cos {\frac {3\pi }{7}}}}}$

Autres formules découlant des précédentes

Pour d'autres valeurs de l'entier k dans kπ/7, on peut se ramener aux formules précédentes en tenant compte de la parité de cos et de l'imparité de sin et tan, et du fait que

${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta {\text{ et }}\sin(\pi -\theta )=\sin \theta }$.

Sommes de Newton

La suite

${\displaystyle p_{n}:=\left(2\cos {\frac {\pi }{7}}\right)^{n}+\left(-2\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)^{n}+\left(2\cos {\frac {3\pi }{7}}\right)^{n}\quad (n\in \mathbb {Z} )}$

se déduit des polynômes symétriques élémentaires ci-dessus, dans ses valeurs initiales

${\displaystyle p_{0}=3,\quad p_{1}=1,\quad p_{2}=5}$

et dans sa récurrence linéaire d'ordre 3 :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} \quad p_{n+3}-p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}=0}$.

Par exemple :

${\displaystyle p_{3}=4,\quad p_{4}=13,\quad p_{5}=16,\quad p_{6}=38,\quad p_{7}=57}$ suite A096975 de l'OEIS, et

${\displaystyle p_{-1}=2,\quad p_{-2}=6,\quad p_{-3}=11,\quad p_{-4}=26,\quad p_{-5}=57}$suite A274975 de l'OEIS.

Tous les entiers p_n sont strictement positifs^[5], les deux suites ${\displaystyle (p_{n})_{n\geq 3}}$ et ${\displaystyle (p_{-n})_{n\geq 1}}$ étant même strictement croissantes.

Voir aussi

• Formules trigonométriques en kπ/9
• Triangle heptagonal

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles--Pi/7 », sur MathWorld