Immersion (mathématiques)

En géométrie différentielle, une immersion est une application différentiable d'une variété différentielle dans une autre, dont la différentielle en tout point est injective.

Immersion — nécessairement non injective — de la bouteille de Klein dans R³.

Soient ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle W}$ deux variétés, ${\displaystyle x}$ un point de ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle f}$ une application différentiable de ${\displaystyle V}$ dans ${\displaystyle W}$.

On dit que ${\displaystyle f}$ est une immersion au point ${\displaystyle x}$ si l'application linéaire tangente ${\displaystyle Tf(x)}$ est injective, autrement dit, en supposant ${\displaystyle V}$ de dimension finie, si le rang de l'application linéaire tangente ${\displaystyle Tf(x)}$ est égal à la dimension de ${\displaystyle V}$.

Dès lors, ${\displaystyle f}$ est une immersion (ou une application immersive) si pour tout ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle f}$ est une immersion au point ${\displaystyle x}$.

On la différencie :

• de la submersion (le rang de ${\displaystyle Tf(x)}$ est égal à la dimension de ${\displaystyle W}$);
• du plongement (en plus d'être une immersion, ${\displaystyle f}$ est un homéomorphisme de ${\displaystyle V}$ sur ${\displaystyle f(V)}$).

Théorème

Soit ${\displaystyle U}$ une partie ouverte de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{p}}$,${\displaystyle f}$ une immersion injective de ${\displaystyle U}$ dans ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}}$. On suppose que l'application ${\displaystyle f^{-1}}$de ${\displaystyle V=f(U)}$ sur ${\displaystyle U}$ est continue. Alors ${\displaystyle V}$ est une variété de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{n}}$ de dimension ${\displaystyle p}$^[1].