Inégalité de Maclaurin

En mathématiques, les inégalités de Maclaurin forment une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence^[1].

Énoncé

Soient a₁, a₂, … , a_n des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes S_k définies par

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }$

Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré ${\displaystyle k}$ en les ${\displaystyle n}$ variables a₁, a₂, … , a_n, c'est-à-dire la somme de tous les produits de ${\displaystyle k}$ d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

${\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt {S_{2}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geqslant \cdots \geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}},}$

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les a_i sont égaux.

Exemples

L'inégalité ${\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$ est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des ${\displaystyle n}$ nombres.

Pour ${\displaystyle n=4}$, les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)

${\displaystyle {\frac {a+b+c+d}{4}}\geqslant {\sqrt {\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\geqslant {\sqrt[{4}]{abcd}}.}$

Démonstration

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S₀ = 1)

${\displaystyle \forall k=1,\ldots ,n-1\quad S_{k}^{2}\geqslant S_{k-1}S_{k+1}.}$

En effet, ${\displaystyle S_{1}^{2}S_{2}^{4}S_{3}^{6}\ldots S_{k}^{2k}\geqslant (S_{0}S_{2})(S_{1}S_{3})^{2}(S_{2}S_{4})^{3}\ldots (S_{k-1}S_{k+1})^{k}}$ se simplifie en ${\displaystyle S_{k}^{k+1}\geqslant S_{k+1}^{k},}$ qui équivaut à ${\displaystyle S_{k}^{1/k}\geqslant S_{k+1}^{1/(k+1)}.}$ Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.