Indiscernables

En logique mathématique, les indiscernables sont des objets qui ne peuvent être distingués par aucune propriété ou relation définies par une formule. D'ordinaire, seules les formules du calcul des prédicats du premier ordre sont prises en considération.

Exemples

Si a, b et c sont distincts et {a, b, c} est un « ensemble d'indiscernables », pour chaque formule binaire φ, on doit alors avoir

${\displaystyle [\varphi (a,b)\land \varphi (b,a)\land \varphi (a,c)\land \varphi (c,a)\land \varphi (b,c)\land \varphi (c,b)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi (b,a)\land \lnot \varphi (a,c)\land \lnot \varphi (c,a)\land \lnot \varphi (b,c)\land \lnot \varphi (c,b)]\,.}$

Historiquement, le principe d'identité des indiscernables est une des lois de la pensée (en) de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Généralisations

Dans certains contextes, on considère la notion plus générale d'« ordre des indiscernables » et le terme « séquence des indiscernables » se réfère souvent implicitement à cette notion plus faible. Dans notre exemple de formules binaires, dire que le triplet (a, b, c) d'éléments distincts est une séquence d'indiscernables implique que

${\displaystyle ([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi (a,c)\land \lnot \varphi (b,c)])\land ([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [\lnot \varphi (b,a)\land \lnot \varphi (c,a)\land \lnot \varphi (c,b)])\,.}$

Applications

Les ordres d'indiscernables figurent en bonne place dans la théorie du cardinal de Ramsey, du cardinal d'Erdős (en) et du zéro dièse (en).

Articles connexes

• Indiscernabilité
• Principe d'identité
• Théorie des ensembles approximatifs

Bibliographie

• Thomas Jech, Set Theory : The Third Millennium Edition, revised and expanded, Berlin, New York, Third Millennium et Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2003, 772 p. (ISBN 978-3-540-44085-7, zbMATH 1007.03002, lire en ligne)

Source de la traduction

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Indiscernibles » (voir la liste des auteurs).

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