Induction électrique

En électromagnétisme, l’induction électrique, notée ${\displaystyle {\vec {D}}}$, représente en quelque sorte la densité de charge par unité d'aire (en C/m²) ressentie en un certain point : par exemple, une sphère de rayon ${\displaystyle r}$ entourant une charge ${\displaystyle Q}$ subit à cause d'elle en chacun de ses points un certain champ électrique, identique à celui qu'engendrerait la même charge uniformément répartie sur l'aire ${\displaystyle A}$ de la sphère. La densité de charge surfacique ${\displaystyle {\frac {Q}{A}}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}}}$ ainsi obtenue est alors l'intensité de l'induction électrique. Également nommée champ de déplacement électrique ou parfois improprement densité de flux électrique^[1], cette dernière est en outre orientée perpendiculairement à la surface, dans le sens du champ électrique.

Induction électrique

L'induction électrique au point d'application du champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$ (dont elle partage le sens), représente ici la densité de charge que porterait la sphère si la charge centrale ${\displaystyle Q}$ était uniformément répartie à sa surface.

Données clés

Unités SI	C m−2
Dimension	L −2·T·I
Base SI	s⋅A⋅m−2
Nature	Grandeur vectorielle intensive
Symbole usuel	${\displaystyle D}$
Lien à d'autres grandeurs	${\displaystyle {\vec {D}}=}$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$

modifier

L'induction électrique, ainsi matérialisée par un vecteur en tout point de l'espace, forme donc un champ vectoriel dépendant de la position ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et du temps ${\displaystyle t}$, et qu'on peut alors noter ${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},t)}$. Une possibilité alternative est la dépendance de l'induction électrique, alors notée ${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$, à la position dans l'espace ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et à la pulsation ${\displaystyle \omega }$, qui apparaît dans les équations de Maxwell des milieux.

Dimension et unité

L'induction électrique est une grandeur vectorielle^[2],[3]. De dimension L^–2·T·I^[2], elle est homogène à une excitation électrique^[4] et une polarisation électrique^[5]. Dans le Système international (SI) d'unités, elle s'exprime en coulombs par mètre carré (C/m² ou C m⁻²)^[2],[3].

Ce choix d'unités résulte du théorème de Gauss. Voir aussi Induction électrique dans un condensateur, infra.^{[précision nécessaire]}

Relation avec le champ électromagnétique

En général, on considère les milieux dits linéaires, ${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ est alors relié au champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$ par la relation

${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )\ =\ \varepsilon ({\vec {r}},\omega )\cdot {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$

où :

• ${\displaystyle \varepsilon ({\vec {r}},\omega )}$ représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires (${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ dépend alors aussi des termes quadratiques de ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$),

${\displaystyle {\vec {D}}={\frac {\vec {E}}{\|{\vec {E}}\|}}\left(\varepsilon ^{(1)}\cdot \|{\vec {E}}\|+\varepsilon ^{(2)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{2}+\varepsilon ^{(3)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{3}+\cdots \right)}$

et les milieux dits « chiraux » (${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ dépend alors linéairement de ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$ mais aussi du champ magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}},\omega )}$).

Induction électrique dans un condensateur

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ ${\displaystyle {\vec {D}}}$ entre les plaques. Ceci résulte directement du théorème de Gauss, si on intègre sur une boîte rectangulaire chevauchant la surface d'une des plaques du condensateur :

${\displaystyle \oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=Q}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ est l'élément d'aire orientée de la boîte et ${\displaystyle Q}$ la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque a un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boîte, ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Finalement, il reste :

${\displaystyle |{\vec {D}}|={\frac {Q}{S}}}$,

ce qui représente la densité de charge de la plaque.