Loi de Kumaraswamy

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Kumaraswamy ou loi de Kumaraswamy doublement bornée est une loi de probabilité continue dont le support est ${\displaystyle \scriptstyle [0,1]}$ et dépendant de deux paramètres de forme ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

Loi de Kumaraswamy
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle a>0\,}$ ${\displaystyle b>0\,}$
Support	${\displaystyle x\in [0,1]\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,}$
Fonction de répartition	${\displaystyle [1-(1-x^{a})^{b}]\,}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}$
Médiane	${\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}$
Mode	${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}$ pour ${\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}$
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Elle est similaire à la loi bêta, mais sa simplicité en fait une loi utilisée spécialement pour les simulations grâce à la forme simple de la densité de probabilité et de la fonction de répartition. Cette loi a été initialement proposée par Poondi Kumaraswamy (en) pour des variables minorées et majorées.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi de Kumaraswamy est :

${\displaystyle f(x;a,b)={\begin{cases}abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon. }}\end{cases}}}$

fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Kumaraswamy est :

${\displaystyle F(x;a,b)={\begin{cases}1-(1-x^{a})^{b}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}}$

Généralisation sur un intervalle quelconque

Dans sa forme simple, la loi a pour support [0,1]. Dans une forme plus générale, la variable normalisée ${\displaystyle x}$ est remplacée par la variable ${\displaystyle z}$ non normalisée définie par :

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

Propriétés

Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par

${\displaystyle m_{n}=\mathbb {E} (X^{n})={\frac {b\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{a}}\right)\Gamma (b)}{\Gamma \left(1+b+{\tfrac {n}{a}}\right)}}=b\mathrm {B} \left(1+{\frac {n}{a}},b\right)\,}$

où Γ est la fonction gamma et Β est la fonction bêta. La variance, l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

Relation avec la loi bêta

La loi de Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta. On considère ${\displaystyle X_{a,b}}$ est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b. Alors ${\displaystyle X_{a,b}}$ est la racine a-ième d'une variable aléatoire de loi bêta.

Plus formellement, notons ${\displaystyle Y_{1,b}}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres ${\displaystyle \alpha =1}$ et ${\displaystyle \beta =b}$. il existe alors une relation entre ${\displaystyle X_{a,b}}$ et ${\displaystyle Y_{1,b}}$ :

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{a,b}\leq x)=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\mathbb {P} (Y_{1,b}\leq x^{a})=\mathbb {P} (Y_{1,b}^{1/a}\leq x).}$

On peut alors introduire des lois de Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$, avec ${\displaystyle \gamma >0}$ et où ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$. Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par :

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \beta =b}$ et ${\displaystyle \gamma =a}$. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.

Relations avec d'autres lois

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ alors ${\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (loi uniforme continue) alors ${\displaystyle {\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ (loi bêta) alors ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ (loi bêta) alors ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ alors ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ alors ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ alors ${\displaystyle -\ln(X)\sim {\mathcal {E}}(a)\,}$, où ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )\,}$ désigne la loi exponentielle de paramètre λ.
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ alors ${\displaystyle -\ln(1-X)\sim {\mathcal {E}}(b)\,.}$

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Kumaraswamy, P., « A generalized probability density function for double-bounded random processes », Journal of Hydrology, vol. 46, n^os 1-2,‎ 1980, p. 79–88 (DOI 10.1016/0022-1694(80)90036-0)
• (en) Fletcher, S.G., and Ponnambalam, K., « Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis », Journal of Hydrology, vol. 182, n^os 1-4,‎ 1996, p. 259–275 (DOI 10.1016/0022-1694(95)02946-X)

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