Loi de Rademacher

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Rademacher est une loi de probabilité discrète ayant une probabilité 1/2 d'obtenir 1 et 1/2 d'obtenir -1. Le nom de cette loi vient du mathématicien Hans Rademacher.

loi de Rademacher
Fonction de masse
Fonction de répartition
Support	${\displaystyle k\in \{-1,1\}\,}$
Fonction de masse	${\displaystyle f(k)={\begin{cases}1/2,&k=-1\\1/2,&k=1\end{cases}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}$
Espérance	${\displaystyle 0\,}$
Médiane	${\displaystyle 0\,}$
Mode	N/A
Variance	${\displaystyle 1\,}$
Asymétrie	${\displaystyle 0\,}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle -2\,}$
Entropie	${\displaystyle \ln(2)\,}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle \cosh(t)\,}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \cos(t)\,}$
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Cette loi correspond au gain lors d'un jeu de pile ou face dans lequel la mise est de 1 : un joueur a une probabilité de 1/2 de gagner, c'est-à-dire gagner 1, et 1/2 de perdre, c'est-à-dire gagner -1

Fonction de masse

La fonction de masse de la loi de Rademacher est donnée par :

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{sinon.}}\end{matrix}}\right.}$

Elle peut également être écrite de manière équivalente : ${\displaystyle f={\frac {1}{2}}}1\!\!\!1_{\{-1,1\}.}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Rademacher est donnée par :

${\displaystyle F(k)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}k<-1\\1/2,&{\mbox{si }}-1\leq k<1\\1,&{\mbox{si }}k\geq 1\end{cases}}}$

Liens avec d'autres lois

• Loi de Bernoulli : Si X suit la loi de Rademacher, alors ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Article connexe

• Complexité de Rademacher

• Portail des probabilités et de la statistique