Loi de Lambert

En optique, la loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est ${\displaystyle \pi }$^[1],[2]. Autrement dit, si ${\displaystyle M}$ désigne l'exitance et ${\displaystyle L}$ la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :

${\displaystyle M=\pi \cdot L}$.

Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert^[3], la relation qui exprime l'intensité lumineuse ${\displaystyle I}$ d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface ${\displaystyle I(0)}$ et de l'angle ${\displaystyle \theta }$ par rapport à cette normale :

${\displaystyle I(\theta )=I(0)\,\cos \theta }$.

Démonstration

Définition des variables

On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) ${\displaystyle \theta }$ et d'azimut (ou longitude) ${\displaystyle \phi }$.

L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :

${\displaystyle M=\int _{2\pi }L\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega }$,

avec

${\displaystyle d\Omega ={\frac {\mathrm {d} S}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$.

${\displaystyle L}$ étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :

${\displaystyle M=L\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi L\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta }$.

On effectue le changement de variable ${\displaystyle \mu =\sin \theta }$ et on obtient

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}\mu \,\mathrm {d} \mu ={\frac {1}{2}}}$,

d'où l'on déduit la loi de Lambert.