Loi normale rectifiée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale rectifiée est une modification de la loi normale lorsque ses valeurs négatives sont « remises à » 0. C'est une loi mixte issue d'un mélange entre une loi de probabilité discrète (mesure de Dirac en 0) et une loi de probabilité à densité (loi normale tronquée sur ${\displaystyle \scriptstyle ]0,\infty [}$).

Loi normale rectifiée
Paramètres	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ paramètre de position ${\displaystyle \sigma >0\,}$ paramètre d'échelle
Support	${\displaystyle x\in [0,+\infty [\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \scriptstyle \Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$
modifier

Une variable aléatoire qui suit une loi normale rectifiée est notée : ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$

Comparaison d'une loi normale, d'une loi normale rectifiée et d'une loi normale tronquée.

Ici, ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction de répartition de la loi normale :

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t\quad x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \delta }$ est la distribution de Dirac :

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

et, ${\displaystyle {\textrm {U}}}$ est la fonction de Heaviside:

${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Forme alternative

Une alternative simple est de considérer le cas où

${\displaystyle S\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),X=\max(0,S),}$

alors,

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

Références

• (en) Maxime Beauchamp, « On numerical computation for the distribution of the convolution of N independent rectified Gaussian variables », Journal de la Société Française de Statistique, vol. 159, n^o 1,‎ 2018 (lire en ligne)

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