Méthodes d'Adams-Bashforth

Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.

Description

Soit l'équation différentielle à résoudre : ${\displaystyle y'=f(t,y)}$

On considère une suite de temps (t_n) pour lesquelles on calcule les valeurs (y_n). Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre y_n et t_n pour le calcul de y_{n + 1}. Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs y_n, y_{n – 1},...,y_{n – r}.

Soit z une solution exacte de l'équation. On a alors : ${\displaystyle z(t_{n+1})=z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y)\,\mathrm {d} t.}$

On suppose que les points (z(t_{n – i})) et les pentes (f_{n – i}) = (f(t_{n – i}, z(t_{n – i}))) soient connues pour 0 ≤ i ≤ r.

On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points : ${\displaystyle P_{n,r}(t)=\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t),}$ avec les polynômes de Lagrange suivants ${\displaystyle L_{n,i,r}(t)=\prod _{0\leq j\leq r,j\neq i}{\frac {t-t_{n-j}}{t_{n-i}-t_{n-j}}}.}$

On fait alors l'approximation : ${\displaystyle z(t_{n+1})\simeq z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t=z(t_{n})+\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.}$

La méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas s'écrit donc : ${\displaystyle {\begin{cases}y_{n+1}&=y_{n}+\Delta t_{n}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}b_{n,i,r}\\t_{n+1}&=t_{n}+\Delta t_{n}\\f_{n+1}&=f(t_{n+1},y_{n+1}).\end{cases}}}$ avec ${\displaystyle b_{n,i,r}={\frac {1}{t_{n+1}-t_{n}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.}$

On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de f à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule^[1].

Exemples

Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients ${\displaystyle b_{n,i,r}=\Delta t\ b_{i,r}}$ dans le cas où le pas est constant :

	${\displaystyle r}$	${\displaystyle b_{0,r}}$	${\displaystyle b_{1,r}}$	${\displaystyle b_{2,r}}$	${\displaystyle b_{3,r}}$
	0	1
	1	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$
	2	${\displaystyle {\tfrac {23}{12}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {16}{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{12}}}$
	3	${\displaystyle {\tfrac {55}{24}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {59}{24}}}$	${\displaystyle {\tfrac {37}{24}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {9}{24}}}$

On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.

Erreur de la méthode

On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : ${\displaystyle |e_{n}|=\left|z(t_{n+1})-y_{n+1}\right|\leq \max _{[t_{0},t_{0}+T]}|z^{(r+2)}|\cdot \Delta t_{n}\cdot \max _{n}(\Delta t_{n})^{r+1}}$ Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.

La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :

Théorème — Si f est k-lipschitzienne en y et qu'il existe une constante β_r indépendante de n vérifiant : ${\displaystyle \sum _{i=0}^{r}|b_{n,i,r}|\leq \beta _{r}}$ alors la méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas est stable, de constante de stabilité ${\displaystyle \exp(\beta _{r}kT).}$

Cependant, les valeurs de β_r augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.