Top Qs
Chronologie
Chat
Contexte
Magma (algèbre)
structure algébrique élémentaire : ensemble muni d'une loi de composition interne De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Remove ads
En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.
Définitions
Résumé
Contexte
Un magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne , noté alors ou simplement [1].
Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.
On dit que le magma est :
- unifère s'il possède un élément neutre , c'est-à-dire ;
- un demi-groupe (ou associatif) si est associative ;
- un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre)[2].
Si et sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de dans est par définition[3] une application de dans telle que, pour tous éléments de , on ait
Si, de plus, est une bijection, la réciproque de est un morphisme de magmas de dans et on dit que est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.
Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.
Remove ads
Exemples de magmas
- Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
- est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
- est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
- est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est médial (en) (car ) et régulier.
- On appelle magma opposé au magma le magma où pour tous .
- Magma quotient
- Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments muni de la loi interne ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[4].
0 | 1 | 2 | |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
2 | 0 | 2 | 2 |
- La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas.
Remove ads
Magma libre construit sur un ensemble
Pour tout ensemble , il est possible de construire un ensemble qui contient et qui est un magma pour la loi définie par : . Cet ensemble doit nécessairement contenir
- les éléments de
- les couples d'éléments de
- les couples formés d'un couple et d'un élément de
- les couples
peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de , l'opération étant une concaténation non associative.
Bourbaki décrit cet ensemble[5] comme l'union des ensembles de mots de longueur pour appartenant à . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur , comme l'ensemble somme des ensembles pour : un mot de longueur est la concaténation d'un mot de longueur et d'un mot de longueur .
Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur .
Ce magma libre construit sur possède la propriété universelle suivante: si est une application de vers un magma , il existe une unique extension de qui soit un morphisme de magma de vers .
Remove ads
Historique
Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.
L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[6] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[7], est aujourd'hui à éviter [8],[9],[10], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.
En septembre 2024, Terence Tao lance le projet des théories équationnelles ((en) Equational theories project), travail collaboratif visant à étudier et mettre en relations les différentes propriétés mathématiques pouvant être vérifiées par les magmas[1].
Remove ads
Notes et références
Bibliographie
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads