Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité^[1].

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes^[2] :

• permuter deux lignes entre elles ;
• ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
• multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Exemples

Opération effectuée sur la matrice identité I3	Matrice	type de matrice
échanger lignes 1 et 2	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$	matrice de permutation
multiplier ligne n°3 par 5	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&5\\\end{pmatrix}}}$	matrice de dilatation
ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\\\end{pmatrix}}}$	matrice de transvection

Propriétés

Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A^[3] (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).

En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M^[3].

Remarque

Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres^[4]. En effet,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.}$