Modèle cellulaire de Potts

Le modèle cellulaire de Potts (ou CPM, de l'anglais Cellular Potts model) est un modèle informatique de cellules et de tissus^[1]. Il est aussi connu sous le nom de modèle Glazier-Graner-Hogeweg^[2].

Le CPM est utilisé pour simuler des comportements cellulaires individuels et collectifs, la morphogenèse de tissus ou encore le développement d'un cancer. Dans ce modèle, une cellule est un objet déformable d'un certain volume, qui peut adhérer à d'autres cellules et au milieu dans lequel elle se trouve. Le modèle peut être étendu pour intégrer d'autres comportements cellulaires tels que la migration cellulaire, la croissance, la division et la signalisation.

Le premier CPM est une modification du modèle de Potts et a été proposé pour simuler un tri cellulaire par François Graner et James Glazier. Le CPM a ensuite été popularisé par Paulien Hogeweg pour l'étude de la morphogenèse^[3]. Bien que le modèle ait été développé pour décrire des cellules biologiques, il peut être utilisé pour modéliser des sous-parties d'une cellule, ou même des zones ou des fluides.

Description du modèle

Représentation d'une grille de CPM avec quatre cellules de trois types (représentés par les couleurs) différents.

Le CPM est composé d'une grille rectangulaire où chaque pixel peut appartenir soit à une cellule, soit au milieu. Une cellule se compose donc d'un ensemble de pixels qui partagent le même identifiant (id).

La dynamique du modèle est régie par une fonction d'énergie hamiltonnienne qui décrit l'énergie d'une configuration particulière des cellules sur la grille. Dans le CPM classique, cette énergie dépend de l'adhésion entre les cellules et de la résistance des cellules au changement de volume. L'algorithme qui met à jour les identités cellulaires de chaque pixel minimise cette énergie en suivant un algorithme de type Monte-Carlo par chaîne de Markov (MCMC) :

1. Choix d'un pixel aléatoire i par loi uniforme sur tous les pixels
2. Choix aléatoire d'un pixel voisin de j , dont l'identité serait copié sur le pixel i
3. Calcul de la différence d'énergie (${\textstyle \Delta H}$) entre l'ancienne et la potentielle nouvelle configuration sur la grille
4. Acceptation ou rejet de la modification en fonction de ${\textstyle \Delta H}$ :
   • Si la nouvelle énergie est plus faible (${\textstyle \Delta H<0}$ ), toujours accepter le changement
   • Si la nouvelle énergie est plus élevée (${\textstyle \Delta H>0}$), accepter le changement avec une probabilité ${\textstyle e^{-\Delta H/T}}$où ${\displaystyle T}$ est la température de Boltzmann et détermine la probabilité de fluctuations énergétiquement défavorables.

L'hamiltonien

Le modèle original proposé par Graner et Glazier contient deux types de cellules, qui ont des paramètres différents pour l'adhésion cellulaire, avec une cellule du même type, de l'autre type ou avec le milieu. Le volume cellulaire est supposé proche d'une valeur cible et variant peu. L'hamiltonien est alors :

${\displaystyle H=\sum _{i,j\ {\text{voisins}}}J(\tau (\sigma _{i}),\tau (\sigma _{j}))(1-\delta (\sigma _{i},\sigma _{j}))+\lambda \sum _{\sigma _{i}}(v(\sigma _{i})-V(\sigma _{i}))^{2}}$

où ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ sont des pixels, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ la cellule au pixel ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \tau _{i}}$ le type cellulaire de la cellule ${\displaystyle \sigma _{i}}$, ${\displaystyle J}$ le coefficient déterminant l'adhésion entre deux types cellulaires, ${\displaystyle \delta }$ le delta de Kronecker, ${\displaystyle v(\sigma )}$ le volume de la cellule ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle V(\sigma )}$ son volume cible et ${\displaystyle \lambda }$ le multiplicateur de Lagrange déterminant la force de la contrainte de volume.

Les cellules avec un ${\displaystyle J}$ d'adhésion de leurs membranes plus faible vont avoir tendance à rester ensemble, ce qui permet de simuler différents motifs de tri cellulaires (mélange de types cellulaires, regroupement de cellules de même type, etc.).

Extensions

Au cours du temps, le CPM est passé d'un modèle spécifique du tri cellulaire à un modèle généraliste permettant l'intégration de nombreuses extensions^[2] : chimiotaxie, élongation, ou motilité directionnelle. Ces extensions peuvent se faire en changeant soit l'hamiltonien ${\displaystyle H}$ soit l'énergie ${\displaystyle \Delta H}$. D'autres sous-grilles peuvent être ajoutées pour inclure davantage d'information spatiale, comme la concentration en molécules.

Chimiotaxie

Dans le CPM, les cellules peuvent se déplacer dans la direction d'un gradient de concentration de chimiokine en augmentant la probabilité de copie d'id du pixel ${\displaystyle j}$ au pixel ${\displaystyle i}$ lorsque la concentration en chimiokine est plus grande au site ${\displaystyle j}$. Pour cela, le calcul du changement d'énergie${\displaystyle \Delta H}$ est modifié par un terme proportionnel à la différence de concentration entre ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$^[3] :

${\displaystyle \Delta H'=\Delta H-\mu (C_{i}-C_{j})}$

où ${\displaystyle \mu }$ est la force du mouvement chimiotactique et ${\displaystyle C_{i}}$et ${\displaystyle C_{j}}$ sont les concentrations en chimiokines aux sites ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ respectivement. Le gradient en chimiokine est généralement implémenté dans une grille secondaire de même dimension que la grille des cellules.

Modélisation multi-échelle et hybride

Des dynamiques de signalement internes aux cellules ainsi que des dynamiques à d'autres échelles temporelles (plus rapide ou plus lent que le mouvement des cellules) peuvent également être intégrés au CPM^[4].

Code

Depuis 2020, une bibliothèque, intitulée Artistoo, est disponible en ligne^[5] permettant de facilement télécharger une implémentation du CPM et d'y intégrer les extensions souhaitées. Le logiciel est sous licence libre et permet de simuler des cellules et des tissus directement dans un navigateur web^[6].

Le logiciel open-source Bionetseolver peut également être utilisé pour intégrer une dynamique intracellulaire à l'algorithme CPM^[7].