Nombre polygonal centré

En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, la première couche contient k points et à partir de la deuxième, chaque couche contient k points de plus que la précédente.

Relation de récurrence et formule explicite

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 2\quad C_{k,n}=C_{k,n-1}+k(n-1).}$

Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré est donc égal à 1 plus la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison k, ou encore, 1 plus k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire^[1] :

${\displaystyle C_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n}k(i-1)1+k\sum _{i=0}^{n-1}i=1+kT_{n-1}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}}}$

Le fait que ${\displaystyle C_{k,n}=kT_{n-1}+1}$ est illustré sur la figure ci-dessous dans le cas ${\displaystyle k=6}$.

Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonal

Pour tout entier k ≥ 3, le premier et le k-ième nombres k-gonaux centrés sont aussi k-gonaux (non centrés):

${\displaystyle C_{k,1}=1=P_{k,1}\quad {\text{et}}\quad C_{k,k}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=P_{k,k+1}.}$

Exemples :

• avec k = 3 : le nombre C_{3, 3} = 10 = P_{3, 4} est à la fois triangulaire centré et triangulaire ;
• avec k = 4 : le nombre C_{4, 4} = 25 = P_{4, 5} est à la fois carré centré et carré parfait.

Nombre polygonal centré premier

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre octogonal centré est le n-ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice 3n – 2 ≠ 2. Il ne peut donc pas non plus être premier.

Pour tout entier k différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre k-gonal centré, C_{k, 2} = 1 + k, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Listes de nombres polygonaux centrés

Nombres polygonaux centrés (nombres polygonaux centrés premiers : en gras)^{[pertinence contestée]}

Nom, notation Ck,n	Expression	Les dix plus petits nombres	Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS
Nombres triangulaires centrés, C3,n	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(3n^{2}-3n+2)}$	1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136	A005448 et  A125602
Nombres carrés centrés, C4,n	${\displaystyle 2n^{2}-2n+1=n^{2}+(n-1)^{2}}$	1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181	A001844 et  A027862
Nombres pentagonaux centrés, C5,n	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(5n^{2}-5n+2)}$	1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226	A005891 et  A145838
Nombres hexagonaux centrés, C6,n	${\displaystyle 3n^{2}-3n+1=n^{3}-(n-1)^{3}}$	1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271	A003215 et  A002407
Nombres heptagonaux centrés, C7,n	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7n^{2}-7n+2)}$	1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316	A069099 et  A144974
Nombres octogonaux centrés, C8,n	${\displaystyle (2n-1)^{2}}$	1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361	A016754
Nombres ennéagonaux centrés, C9,n	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(3n-1)(3n-2)}$	1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406	A060544
Nombres décagonaux centrés, C10,n	${\displaystyle 5n^{2}-5n+1}$	1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451	A062786 et  A090562
Nombres undécagonaux centrés, C11,n	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(11n^{2}-11n+2)}$	1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496	A069125 et  A262344
Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, C12,n	${\displaystyle 6n^{2}-6n+1}$	1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541	A003154[2] et  A083577