Nombre pratique

En arithmétique, un entier strictement positif ${\displaystyle n}$ est dit pratique ou panarithmique si tout entier compris entre 1 et ${\displaystyle n}$ est somme de certains diviseurs (distincts) de ${\displaystyle n}$.

Démonstration de la praticité du nombre 12.

Par exemple, 8 est pratique. En effet, il a pour diviseurs 1, 2, 4 et 8, or 3 = 2 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2 et 7 = 4 + 2 + 1.

Les douze premiers nombres pratiques sont 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28 et 30 (suite A005153 de l'OEIS).

Les nombres pratiques ont été utilisés par Fibonacci pour représenter des nombres rationnels par des fractions égyptiennes. Fibonacci ne définit pas formellement les nombres pratiques mais donne une table de développements en fractions égyptiennes pour des fractions dont le dénominateur est pratique.

Les nombres pratiques ont été baptisés ainsi en 1948 par Srinivasan^[1] ; il commença à les classifier, ce qui fut achevé par Stewart et Sierpiński. Cette caractérisation permet de déterminer si un nombre est pratique à partir de sa décomposition en facteurs premiers et de montrer que d'autres ensembles remarquables d'entiers ne contiennent que des nombres pratiques.

Les nombres pratiques sont analogues aux nombres premiers par beaucoup de leurs propriétés.

Caractérisation

Stewart^[2] et Sierpiński^[3] ont démontré qu'un entier ${\displaystyle n>1}$ est pratique si et seulement si sa décomposition en facteurs premiers s'écrit

${\displaystyle n=p_{0}^{\alpha _{0}}p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$

avec ${\displaystyle k\geqslant 0}$, ${\displaystyle p_{0}<p_{1}<\cdots <p_{k}}$premiers, ${\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{k}>0}$ et^[4]

${\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,k\}\quad p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{0}^{\alpha _{0}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}}),}$

où ${\displaystyle \sigma (x)}$ désigne la somme des diviseurs de ${\displaystyle x}$ (l'inégalité pour ${\displaystyle i=0}$ équivaut à ${\displaystyle p_{0}=2}$ donc à part 1, tout nombre pratique est pair).

Par exemple, 3 ≤ 4 = 1 + σ(2), 29 ≤ 40 = 1 + σ(2 × 3²) et 823 ≤ 1 171 = 1 + σ(2 × 3² × 29), donc 2 × 3² × 29 × 823 = 429 606 est pratique.

Cette condition est évidemment nécessaire pour que ${\displaystyle n}$ soit pratique, puisque chaque ${\displaystyle p_{i}-1}$ doit être une somme de diviseurs de ${\displaystyle n}$. On démontre qu'elle est aussi suffisante et même, que si elle est vérifiée alors, tout entier naturel ${\displaystyle m\leqslant \sigma (n)}$ s'écrit comme une somme de diviseurs de ${\displaystyle n}$.

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur la somme des α_i. Si elle vaut 1, n est égal à 2 et la propriété est triviale. Pour montrer l'hérédité, posons (en notant ⌈ ⌉ la fonction partie entière par excès)

${\displaystyle s=\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}}),\quad q=\max(\lceil (m-s)/p_{k}\rceil ,0)\quad {\rm {et}}\quad r=m-p_{k}q.}$

Ainsi, q ≥ 0 et r ≤ s. En outre,

• r ≥ 0 car si q ≠ 0 alors m – s > p_k(q – 1) c'est-à-dire r > s – p_k or par hypothèse, p_k ≤ 1 + s ;
• q ≤ σ(n/p_k) car${\displaystyle m-s\leq \sigma (n)-s=s\left({\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}-1\right)=s~{\frac {p_{k}^{\alpha _{k}}-1}{p_{k}-1}}~p_{k}=\sigma (n/p_{k})~p_{k}.}$

On a donc m = p_kq + r avec, par hypothèse de récurrence, r somme de diviseurs de n/p_k^α_k et q somme de diviseurs de n/p_k. Les diviseurs représentant r, joints aux produits par p_k de ceux représentant q, forment une représentation de m comme somme de diviseurs de n.

Sous-ensembles remarquables

Certains ensembles remarquables d'entiers vérifient le critère ci-dessus donc ne contiennent que des nombres pratiques^[1] :

• les nombres parfaits pairs puisqu'un tel nombre est de la forme 2^n–1p avec p premier égal à 2ⁿ – 1 = σ(2^n–1),
• par récurrence, les nombres de la forme n = p₀^α₀p₁^α₁…p_k^α_k où (p_i)_{i ≥ 0} est la suite croissante de tous les nombres premiers et où les exposants α₀, … , α_k sont non nuls, puisqu'alors, 1 + n est divisible par p_i pour un certain i > k donc p_k+1 ≤ p_i ≤ 1 + n ≤ 1 + σ(n) ; en particulier les produits de primorielles, dont font partie
  • les puissances de 2,
  • les factorielles,
  • les nombres hautement composés.

Toutes ces inclusions sont strictes : par exemple, le nombre pratique 20 n'appartient à aucun de ces sous-ensembles.

Plus généralement, tout produit de nombres pratiques est aussi un nombre pratique^[4].

Fractions égyptiennes

Tout rationnel ${\displaystyle m/n}$ où ${\displaystyle n}$ est un nombre pratique et ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant \sigma (n)}$ peut être représenté comme une somme ${\displaystyle \sum {\tfrac {d_{i}}{n}}}$où les ${\displaystyle d_{i}}$ sont des diviseurs de ${\displaystyle n}$ distincts. Chaque terme ${\displaystyle {\tfrac {d_{i}}{n}}}$ se réduit en une fraction unitaire ${\displaystyle {\tfrac {1}{n/d_{i}}}}$, si bien qu'une telle somme fournit une représentation de ${\displaystyle m/n}$ par un développement en fractions égyptiennes distinctes^[4]. Par exemple, 20 étant un nombre pratique :

${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$

Fibonacci, dans son livre Liber abaci (1202)^[5], passe en revue plusieurs méthodes pour représenter un rationnel sous forme de somme de fractions égyptiennes. La première est de tester si le nombre est déjà lui-même une fraction unitaire ; la deuxième est de chercher une représentation du numérateur comme somme de diviseurs du dénominateur, comme décrit ci-dessus. Cette méthode ne réussit à coup sûr que pour les dénominateurs qui sont des nombres pratiques. Fibonacci fournit des tables de ces représentations pour des fractions dont les dénominateurs sont les nombres pratiques 6, 8, 12, 20, 24, 60 et 100.

Vose^[6] a démontré que tout rationnel x/y possède un développement en fractions égyptiennes dont le nombre de termes est en O(√log y). La preuve nécessite d'avoir d'abord construit une suite (n_i) de nombres pratiques telle que tout entier inférieur à n_i soit somme de O(√log n_i–1) diviseurs de n_i distincts. On choisit ensuite i tel que n_i–1 < y ≤ n_i, et l'on divise xn_i par y, ce qui donne un quotient q et un reste r. On a donc x/y = q/n_i + r/(yn_i). En développant les deux numérateurs q et r en sommes de diviseurs de n_i, on obtient la représentation en fraction égyptienne souhaitée. Tenenbaum et Yokota^[7] utilisent une technique similaire, à l'aide d'une autre suite de nombres pratiques, pour montrer que tout rationnel x/y possède un développement en fractions égyptiennes dont le plus grand dénominateur est en O(y log² y/log log y).

Analogies avec les nombres premiers

Une autre raison de l'intérêt pour les nombres pratiques est que beaucoup de leurs propriétés sont similaires à des propriétés des nombres premiers^[4]. Par exemple, si p(x) est le nombre de nombres pratiques inférieurs à x, il existe^[8] deux constantes c₁ et c₂ telles que ${\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\ln x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln x}},}$ ce qui ressemble au théorème des nombres premiers, et démontre un résultat annoncé par Erdős^[9] : la densité asymptotique des nombres pratiques est nulle.

Ce résultat résout en partie une conjecture de Margenstern^[10] selon laquelle ${\displaystyle p(x)}$ serait équivalent à ${\displaystyle cx/\ln x}$ pour une certaine constante ${\displaystyle c=1,33607\dots }$. Voir la suite A327824 de l'OEIS.

Il existe aussi des théorèmes sur les nombres pratiques, analogues à la conjecture de Goldbach, à celles des nombres premiers jumeaux et de Legendre et à la question sur les nombres de Fibonacci premiers :

• tout entier pair strictement positif est somme de deux nombres pratiques^[11],[4] ;
• il existe une infinité de triplets de nombres pratiques de la forme (x – 2, x, x + 2)^[11] ;
• pour tout réel positif x, l'intervalle [x², (x + 1)²] contient au moins un nombre pratique^[12] ;
• il existe une infinité de nombres de Fibonacci pratiques (suite A124105 de l'OEIS)^[13].