Noyau de Fejér

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique, le noyau de Fejér est une suite de fonctions réelles 2π-périodiques permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier. Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér^[1].

Définition

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

Le noyau de Fejér est la suite (F_n)_n∈ℕ* de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}$.

Calcul

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

1. ${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}}$ si ${\displaystyle x\notin 2\pi \mathbb {Z} }$ (donc, par continuité, F_n(x) = n si x est un multiple entier de 2π) ;
2. ${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}}$.

Démonstration

1. Si ${\displaystyle x\notin 2\pi \mathbb {Z} }$ alors ${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin \left({\frac {x}{2}}+kx\right)}{\sin {\frac {x}{2}}}}={\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$ donc

   ${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\cos nx}{2n\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {nx}{2}}}{n\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$.

2. ${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}}$ donc

   ${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n}}\sum _{p=-n}^{n}\sum _{k=|p|}^{n-1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n}}\sum _{p=-n}^{n}(n-|p|)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}=\sum _{p=-n}^{n}\left(1-{\frac {|p|}{n}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}}$.

Convolution

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur [–π, π] et 2π-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.

Propriétés

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$, c'est-à-dire que :

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{n}\geq 0}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1}$ ;
• ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \lim _{n\to \infty }\int _{\pi \geq |x|>\varepsilon }|F_{n}(x)|\,\mathrm {d} x=0}$.

La suite (F_n) est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )}$ (munie de produit de convolution).

• Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes^[2] :
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ D_{n}(x)=(n+1)F_{n+1}(x)-nF_{n}(x)}$
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ F_{n+1}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}$