Paire

Une paire est un ensemble qui comprend exactement deux éléments.

Remarques

• Une paire qui contient deux éléments ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ se note ${\displaystyle \left\{a,b\right\}}$.
• L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance: ${\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}$. Ceci différencie la paire du couple.
• Le cardinal d'une paire est 2.
• L'ensemble ${\displaystyle \left\{a,a\right\}}$ n'est pas une paire mais un singleton et se note aussi ${\displaystyle \left\{a\right\}}$^{[note 1]}.

Exemples

• ${\displaystyle \left\{1,3\right\}}$ (avec une espace après la virgule) est la paire comprenant les entiers ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 3}$.
• ${\displaystyle \left\{\sin ,\exp \right\}}$ est une paire de fonctions.
• ${\displaystyle \left\{\{1\},\{1,2\}\right\}}$ est une paire composée du singleton ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ et de la paire ${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$.
• ${\displaystyle \left\{5,A\right\}}$ est une paire composée du nombre ${\displaystyle 5}$ et de l'élément ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle \left\{7,2\right\}=\{2,7\}}$ alors que ${\displaystyle (7,2)\neq (2,7)}$

Propriétés

Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton)

Un élément x appartient à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire formellement, pour a et b donnés :

∀x, x ∈ {a, b} ⇔ (x = a ou x = b)

(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si x = a et x = b).

Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé axiome de la paire, qui exprime pour tout ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ l'existence d'une paire ${\displaystyle \{a,b\}}$ et qui se fonde sur cette proposition.

Égalité de deux paires

Deux paires sont égales si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {a, b} et {c, d} :

{a, b} = {c, d} ⇔ [(a = c et b = d) ou (a = d et b = c)].

Autres propriétés

Un raisonnement simple de dénombrement montre que le nombre de paires d'un ensemble fini à n éléments est égal à n(n – 1)/2 (voir l'article « Combinaison »).

Histoire

Von Neumann, dans son article de 1923^[1],[2], qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires ${\displaystyle (a,b)}$, comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier ${\displaystyle 2}$ comme étant la paire ${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}}$, qu'il écrit ${\displaystyle \left(\mathbf {O} ,(\mathbf {O} )\right)}$.