Point absorbant

En analyse mathématique, on dit qu'un point ${\displaystyle x}$ d'un ensemble ${\displaystyle P}$ d'un espace vectoriel réel ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un point absorbant de ${\displaystyle P}$ si, quel que soit ${\displaystyle d\in \mathbb {E} }$, il existe un scalaire ${\displaystyle t>0}$, tel que ${\displaystyle x+td\in \mathbb {E} }$.

Cas d'un convexe dans un espace vectoriel de dimension finie

Lorsque ${\displaystyle P}$ est convexe et ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est de dimension finie, les points absorbants sont les points intérieurs à ${\displaystyle P}$.

Point absorbant d'un convexe en dimension finie — Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ un espace vectoriel de dimension finie, ${\displaystyle C}$ un convexe de ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et ${\displaystyle x\in C}$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

• ${\displaystyle x}$ est un point absorbant de ${\displaystyle C}$,
• ${\displaystyle x}$ est intérieur à ${\displaystyle C}$,
• ${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {R} _{+}(C-x)}$.

La troisième propriété fait le lien avec le cône des directions admissibles.

Bibliographie

• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

• Portail des mathématiques
• Portail de l'analyse