Problème des moments

En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (m_n) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n,

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}~\mathrm {d} \mu (x)}$

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres m_n.

On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :

• de Hamburger si l'intervalle I est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tout entier ;
• de Stieltjes s'il est égal à ${\displaystyle [0,+\infty [}$ ;
• de Hausdorff si I est un segment [a,b].

Existence

L'existence d'une mesure de Borel μ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite (m_n) : les matrices de Hankel H_n associées à cette suite, définies par

${\displaystyle (H_{n})_{i,j}=m_{i+j}}$,

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

Ébauche de démonstration

• Considérons la forme linéaire φ définie sur les polynômes par :

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{k}a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

• Si les m_n sont les moments d'une mesure de Borel μ sur [a,b] alors

${\displaystyle (1)\qquad \varphi (P)\geq 0}$ pour tout polynôme P positif sur [a,b].

Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, φ s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues C([a,b]).

• D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour φ équivaut à l'existence d'une mesure μ telle que pour tout polynôme P,

${\displaystyle \varphi (P)=\int P~\mathrm {d} \mu .}$

• Ainsi, la condition (1) est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur [a,b] de moments m_n. En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur [a,b], la condition (1) peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.

Pour plus de détails, voir Shohat et Tamarkin 1943, Akhiezer 1965 et Krein et Nudelman 1977.

Unicité

• L'unicité de μ pour le problème des moments de Hausdorff se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass.
• Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir les articles « Condition de Carleman (en) », « Condition de Krein (en) » et la référence Akhiezer 1965.
• La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction ${\displaystyle f:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ^{+}}$ définie par ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\,{\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\,(\ln x)^{2}}}$ (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent. On démontre que cette loi n'est pas déterminée par ses moments.

Démonstration

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{n}f(x)\sin(2\pi \ln x)\,\mathrm {d} x=0}$.

Pour tout ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, on définit ${\displaystyle g_{\alpha }:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=f(x)\,\left[1+\alpha \sin(2\pi \ln x)\right]}$.

Alors : quels que soient ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m_{n}(g_{\alpha })=m_{n}(f)}$, bien que ${\displaystyle g_{\alpha }\neq f}$ dès que ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Or si l'on prend ${\displaystyle \alpha \in \left[-1,1\right]}$, ${\displaystyle g_{\alpha }}$ est à valeurs positives donc (puisque ${\displaystyle m_{0}(g_{\alpha })=m_{0}(f)=1}$) c'est une densité de probabilité.