Quadrique projective

En mathématiques, plus précisément en géométrie, une quadrique projective ou hyperquadrique^[1] est une partie d'un espace projectif associée à une forme quadratique sur l'espace vectoriel dont cet espace projectif provient.

Généralités

Quadrique projective ${\displaystyle \color {red}xz+y^{2}=0}$ avec point à l'infini ${\displaystyle \color {blue}\pi (1,0,0)}$

Considérons par exemple la forme quadratique ${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,(x,y,z)\mapsto xz+y^{2}}$. Ici, l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel réel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, l'espace projectif associé est ${\displaystyle P(\mathbb {R} ^{3})=P^{2}(\mathbb {R} )}$, le plan projectif réel. On note alors ${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}\to P^{2}(\mathbb {R} ),x\mapsto D_{x}} , la projection canonique. La quadrique projective associée à ${\displaystyle Q}$ est par définition ${\displaystyle \pi (Q^{-1}(0)-\{0\})=\{\pi (x,y,z):xz+y^{2}=0,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}\}}$^[2].

Une hyperquadrique est donc l'image d'un cône isotrope privé de l'origine^[1]. C'est l'ensemble des droites génératrices du cône.

L'étude des coniques projectives conduit par exemple au théorème de Pascal^[2].

Points réguliers et propriétés remarquables

Conjugaison par rapport à une quadrique

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel réel, ${\displaystyle \varphi }$ une forme quadratique de forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur ${\displaystyle E}$ associée ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle Q}$ l'hyperquadrique associée. On dit que deux points ${\displaystyle \pi (x)}$ et ${\displaystyle \pi (x')}$ sont conjugués par rapport à l' hyperquadrique ${\displaystyle Q}$ si ${\displaystyle f(x,x')=0}$.

Soit ${\displaystyle m=\pi (x)}$. L'ensemble des points conjugés de ${\displaystyle m}$ par rapport à ${\displaystyle Q}$ s'appelle la polaire ou l'hyperplan polaire de ${\displaystyle m}$ par rapport à ${\displaystyle Q}$.

Hyperplan tangent

Groupe d'une quadrique