Top Qs
Chronologie
Chat
Contexte

Relations d'Euler dans le triangle

théorème de géométrie De Wikipédia, l'encyclopédie libre

Relations d'Euler dans le triangle
Remove ads

Les relations d'Euler dans le triangle sont des relations entre les rayons des cercles inscrit/exinscrits et circonscrit. Leonhard Euler les a publiées en 1767 [1],[2],[3], mais elles l'avaient déjà été par William Chappie en 1746[4].

Thumb

Notons qu'on désigne aussi par relation d'Euler la relation vectorielle reliant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Remove ads

Énoncé des relations

Résumé
Contexte

Pour un triangle quelconque, on note O, I, IA les centres respectifs des cercles circonscrit, inscrit, et exinscrit dans l'angle (par exemple), et R, r, rA leurs rayons respectifs.

Les relations d'Euler s'énoncent

ce qui peut aussi s'écrire :

ou encore :

On en déduit l'inégalité d'Euler [5]:

laquelle est une égalité ssi le triangle est équilatéral [6].

Remove ads

Démonstrations

Résumé
Contexte

Première démonstration géométrique

Thumb
Le calcul de la différence des puissances d'un point M par rapport à deux cercles s'exprime à partir de la projection H de M sur l'axe radical des deux cercles.

Cette démonstration utilise la propriété suivante des puissances d'un point par rapport à deux cercles[7],[8],[9]. Étant donnés deux cercles de centres O et O', et un point M se projetant en H sur l'axe radical, la différence des puissances de M par rapport aux deux cercles vérifie : .

Thumb

Dans le triangle ABC, les bissectrices (BI) et (BIA) étant perpendiculaires ainsi que (CI) et (CIA), le quadrilatère BICIA est inscriptible dans un cercle de centre Ω, milieu du diamètre [IIA].

Désignons par Ω' le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le cercle circonscrit ; par le théorème de l'angle inscrit Ω' est le milieu de l'arc donc . Mais également, donc Ω = Ω', et Ω appartient au cercle circonscrit.

D'après la propriété ci-dessus, .

Or et , donc .

De même, .

D'après la propriété ci-dessus, .

Or et , donc .

Deuxième démonstration géométrique

Thumb

Cette démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle [10].

La droite (AI) coupe le cercle circonscrit en L. Soit M le point diamétralement opposé à L sur ce cercle.

Soit D le pied de la perpendiculaire menée de I sur (AB). C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a ID = r.

Les angles et sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles rectangles IAD et LMB sont donc semblables puisqu'ils ont un angle non droit identique.

On en déduit : ID/LB = AI/LM, d'où ML × ID = AI × LB, et par conséquent : 2 R r = AI × LB.

D'autre part l'angle est le supplémentaire de l'angle , c'est donc la somme des angles et , soit la demi-somme des angles et et l'angle est la somme des angles et , soit la somme des angles et (par propriété de l'angle inscrit), soit aussi la demi-somme des angles et .

Le triangle BIL est donc isocèle, et par conséquent BL = LI, et : 2 R r = AI × LI.

Or, selon la propriété de la puissance d'un point par rapport à un cercle, puisque que I est intérieur au cercle, .

Par conséquent : , soit , ce qu'il fallait démontrer.

Note : une démonstration similaire mais plus générale puisqu'elle permet d'obtenir à la fois OI et OIA, se trouve dans[11].

Démonstration calculatoire

Le point I ayant pour coordonnées barycentriques , on a

.

D'où, en utilisant le théorème de l'angle au centre :

.

Or

, etc.,

donc

.

Comme et , on a , etc.

Donc

.

Comme , on obtient .

Thumb
Si la ligne brisée partant de A se referme en trois coups.

La relation pour le cercle exinscrit s'obtient similairement en utilisant .

Remove ads

Problème réciproque

Étant donné un cercle de centre et de rayon , et un cercle de centre et de rayon vérifiant , existe-t-il un triangle dont les cercles circonscrit et inscrit soient et  ?

Non seulement la réponse est positive, mais d'après le porisme de Poncelet, le premier sommet du triangle peut être choisi quelconque sur [12],[9].

Notons que le cercle est intérieur au cercle car .


Remove ads

Voir aussi

Références

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads