Relations métriques

En géométrie, le terme relations métriques peuvent désigner les relations

• entre des côtés et des angles dans un triangle ;
• entre des segments et des angles dans un cercle.

Quelques relations dans le triangle

Triangle rectangle avec les angles et les côtés identifiés.

Dans les relations qui suivent, A, B et C désignent les angles, alors que a, b et c désignent les côtés opposés dans le triangle.

• Dans tous triangles rectangles, le côté opposé à un angle de 30 degrés mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse^[1].
• Dans tous triangles rectangles, « la mesure de chaque côté de l’angle droit est la moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière^[2]. » Selon les côtés nommés dans la figure ci-contre,

${\displaystyle {\frac {m}{b}}={\frac {b}{c}}}$     ou     ${\displaystyle m\cdot c=b^{2}}$

• Dans tous triangles rectangles, « la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse^[2]. » Selon les côtés nommés dans la figure ci-contre,

${\displaystyle {\frac {n}{h}}={\frac {h}{m}}}$     ou     ${\displaystyle m\cdot n=h^{2}}$

• Dans tous triangles rectangles, « le produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l’angle droit^[2]. » Selon les côtés nommés dans la figure ci-contre,

${\displaystyle c\cdot h=a\cdot b}$

• Dans tous triangles rectangles, la somme des inverses des carrés des longueurs des cathètes égale l'inverse du carré de la hauteur. Selon les côtés nommés dans la figure ci-contre,

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$

Quelques relations dans le cercle

• Dans un cercle, la plus grande corde est un diamètre^[3].
• Dans un cercle, la médiatrice de n'importe quelle corde détermine un diamètre.