Solide d'Archimède

En géométrie, un solide d'Archimède est un polyèdre convexe semi-régulier, fortement symétrique, composé de deux ou trois sortes de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des solides de Platon, qui sont composés d'une seule sorte de polygones se rencontrant à des sommets identiques, et des solides de Johnson, dont les faces polygonales régulières ne se rencontrent pas à des sommets identiques. La symétrie des solides d'Archimède exclut les membres du groupe diédral, les prismes et les antiprismes.

Les solides d'Archimède peuvent tous être construits via les constructions de Wythoff à partir des solides de Platon avec les symétries tétraédrique (en), octaédrique et icosaédrique. Voir polyèdre uniforme convexe.

Origine du nom

Les solides d'Archimède tirent leurs noms du mathématicien grec Archimède, qui les étudia dans un ouvrage actuellement perdu. Pendant la Renaissance, les artistes et les mathématiciens ont évalué les formes pures et ont redécouvert toutes ces formes. Cette recherche fut complétée aux alentours de 1619 par Johannes Kepler, qui définit les prismes, les antiprismes et les solides réguliers non-convexes connus sous le nom de solides de Kepler-Poinsot.

Pourquoi les noms sont-ils parfois si complexes ?

Les noms des solides d’Archimède décrivent comment les formes sont construites ou tronquées à partir de solides plus simples (souvent des solides de Platon). source: mulders mathis

Exemples

Nom du solide	Signification du nom
Cuboctaèdre	Formé à partir du cube et de l’octaèdre (forme hybride)
Tronqué du dodécaèdre	Obtenu en coupant (tronquant) les sommets du dodécaèdre
Icosidodécaèdre	Mélange de l’icosaèdre et du dodécaèdre
Grand rhombicuboctaèdre	Nommé pour ses faces en rhombe et ses liens avec le cube

Le but est de décrire la construction géométrique de la forme avec précision.

Classification

Il existe 13 solides d'Archimède (15 si l'on compte l'image chirale (dans un miroir) de deux solides énantiomorphes, décrits plus précisément ci-dessous). Dans cette table, la configuration de sommet fait référence au type de polygones réguliers que l'on rencontre à un sommet donné quelconque (symbole de Schläfli). Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent à un sommet (avec l'ordre pris dans le sens horaire autour du sommet). Un quatorzième solide, la gyrobicoupole octogonale allongée, répond « presque » à la définition, en ce que tous ses sommets ont la même configuration de sommet, mais il n'est pas semi-régulier. Enfin, les familles infinies des prismes et des antiprismes ne sont généralement pas comptées comme solides d'Archimède, leur groupe de symétrie se réduisant à un groupe diédral.

Le nombre de sommets est 720° divisé par le défaut angulaire (en) au sommet^[1].

Nom	Solide	Faces		Arêtes	Sommets	nombre d'arêtes par sommet	Configuration de sommet	Groupe de symétrie	Graphe squelette
Tétraèdre tronqué		8	4 triangles 4 hexagones	18	12	3	3.6.6	Td	Graphe tétraédrique tronqué
Cube tronqué ou hexaèdre tronqué		14	8 triangles 6 octogones	36	24	3	3.8.8	Oh	Graphe hexaédrique tronqué
Octaèdre tronqué		14	6 carrés 8 hexagones	36	24	3	4.6.6	Oh	Graphe octaédrique tronqué
Dodécaèdre tronqué		32	20 triangles 12 décagones	90	60	3	3.10.10	Ih	Graphe dodécaédrique tronqué
Icosaèdre tronqué ou Buckyball ou ballon de foot		32	12 pentagones 20 hexagones	90	60	3	5.6.6	Ih	Graphe icosaédrique tronqué
Cuboctaèdre		14	8 triangles 6 carrés	24	12	4	3.4.3.4	Oh	Graphe cuboctaédrique
Cube adouci (2 formes chirales)		38	32 triangles 6 carrés	60	24	5	3.3.3.3.4	O	Graphe cuboctaédrique adouci
Icosidodécaèdre		32	20 triangles 12 pentagones	60	30	4	3.5.3.5	Ih	Graphe icosidodécaédrique
Dodécaèdre adouci (2 formes chirales)		92	80 triangles 12 pentagones	150	60	5	3.3.3.3.5	I	Graphe dodécaédrique adouci
Petit rhombicuboctaèdre		26	8 triangles 18 carrés	48	24	4	3.4.4.4	Oh	Graphe rhombicuboctaédrique
Grand rhombicuboctaèdre (ou 'cuboctaèdre tronqué')		26	12 carrés 8 hexagones 6 octogones	72	48	3	4.6.8	Oh	Graphe cuboctaédrique tronqué
Petit rhombicosidodécaèdre ou rhombicosidodécaèdre		62	20 triangles 30 carrés 12 pentagones	120	60	4	3.4.5.4	Ih	Graphe icosidodécaédrique tronqué
Grand rhombicosidodécaèdre (ou 'icosidodécaèdre tronqué')		62	30 carrés 20 hexagones 12 décagones	180	120	3	4.6.10	Ih	Graphe rhombicosidodécaédrique

Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre ont des arêtes uniformes et ont été appelés quasi-réguliers.

Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont chiraux, ils sont de deux formes, (lévomorphe et dextromorphe). Lorsqu'un objet possède plusieurs formes qui sont images miroir les unes des autres en trois dimensions, ces formes sont appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est aussi utilisée pour les formes de composés chimiques, voir énantiomère).

Les duaux des solides d'Archimède sont appelés les solides de Catalan. Avec les bipyramides et les trapèzoèdres, ce sont les solides à faces uniformes et sommets réguliers.