Variété affine

En géométrie affine, un sous-espace affine (ou sous-espace affin, ou encore variété linéaire affine) d'un espace affine ${\displaystyle A}$ est une partie de ${\displaystyle A}$ héritant d'une structure d'espace affine.

Plus précisément, soient ${\displaystyle A}$ un espace affine, ${\displaystyle E}$ sa direction (c'est-à-dire l'espace vectoriel associé), et ${\displaystyle A'}$ une partie non vide de ${\displaystyle A}$. On dit que ${\displaystyle A'}$ est un sous-espace affine de ${\displaystyle A}$ s'il existe un point ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle A'}$ tel que l'ensemble ${\displaystyle E'}$ des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}}$ de ${\displaystyle E}$, quand ${\displaystyle N}$ parcourt ${\displaystyle A'}$, soit un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E}$.

S'il existe un point ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle A'}$ vérifiant cette propriété, alors :

1. tous les points de ${\displaystyle A'}$ la vérifient ;
2. le sous-espace vectoriel ${\displaystyle E'}$ ne dépend pas du point ${\displaystyle M}$ considéré ;
3. ${\displaystyle A'}$ hérite naturellement d'une structure d'espace affine de direction ${\displaystyle E'}$.

Pour une définition équivalente, voir le paragraphe Sous-espaces affines de l'article Espace affine.

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