Sous-espace vectoriel engendré

Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille^[1].

Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

On note Vect(A)^[2],[3] (ou encore parfois [A]^[4]) l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur v appartient à Vect(A) si et seulement s'il existe une famille (λ_a)_a∈A de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que

${\displaystyle v=\sum _{a\in A}\lambda _{a}a.}$

On démontre que Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

Démonstration

Vect(A) est une partie de E non vide (même lorsque A est l'ensemble vide) car le vecteur nul 0_E, en tant que somme vide, est combinaison linéaire d'éléments de A. Par définition des combinaisons linéaires, Vect(A) est clairement stable par addition et par multiplication par un scalaire. C'est donc bien un sous-espace vectoriel de E.

Soit F un sous-espace vectoriel de E contenant tous les vecteurs de A, alors (par stabilité) il contient aussi leurs combinaisons linéaires, donc Vect(A) est inclus dans F.

La partie A est dite génératrice de Vect(A), ou ensemble de générateurs de Vect(A).

La définition s'étend à une famille quelconque (v_i)_i∈I de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté Vect((v_i)_i∈I), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {v_i | i ∈ I}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :

${\displaystyle {\rm {Vect}}\left((v_{i})_{i\in I}\right)=\left\{\lambda _{i_{1}}v_{i_{1}}+\cdots +\lambda _{i_{k}}v_{i_{k}}|k\in \mathbb {N} ,i_{1},\ldots ,i_{k}\in I,\lambda _{i_{1}},\ldots ,\lambda _{i_{k}}\in K\right\}}$

où ℕ est l'ensemble des entiers naturels.

Les familles (λ_i)_i∈I de scalaires à support fini forment un K-espace vectoriel noté K^(I). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (v_i)_i∈I est l'image de l'application linéaire

${\displaystyle {\begin{matrix}K^{(I)}&\rightarrow &E\\(\lambda _{i})_{i\in I}&\mapsto &\sum _{i\in I}\lambda _{i}v_{i}.\end{matrix}}}$

Base

Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples

• Dans l'espace vectoriel réel ℝⁿ, la base canonique est, comme toute base, un ensemble générateur.
• Dans ℝ³, un exemple d'ensemble générateur et non libre (donc qui n'est pas une base) est {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (–1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}.
• Le triplet des vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1,1,0) et w = (0,1,0) = v – u n'engendre pas ℝ³ tout entier mais seulement le plan vectoriel d'équation z = 0 :${\displaystyle {\rm {Vect}}(u,v,w)={\rm {Vect}}(u,v)=\{(\lambda +\mu ,\mu ,0)~|~(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}\}=\{(x,y,0)~|~(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}.}$
• Soit ${\displaystyle P=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}~|~x+y-z=0\}}$. On a${\displaystyle P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)~|~(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}={\rm {Vect}}((1,0,1),(0,1,1)).}$
• Dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K :
  • le sous-espace engendré par les monômes 1, X, X², … , Xⁿ est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n ;
  • le sous-espace engendré par les monômes X^2k pour k entier naturel est le sous-espace des polynômes de la forme P(X²).
• Dans tout espace vectoriel, le sous-espace engendré par l'ensemble vide est l'espace nul.

Propriétés

• Pour toute partie A et tout vecteur v d'un espace vectoriel E, on a :${\displaystyle {\rm {Vect}}(A\cup \{v\})={\rm {Vect}}(A)\Longleftrightarrow v\in {\rm {Vect}}(A).}$
• Pour tout entier naturel n, la dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n (si et) seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties A et B de E, ${\displaystyle {\rm {Vect}}(A\cup B)={\rm {Vect}}(A)+{\rm {Vect}}(B).}$
• L'application Vect, de l'ensemble des parties de E dans lui-même, est un opérateur de clôture, c'est-à-dire une application :
  • croissante : si ${\displaystyle A\subset B}$, alors ${\displaystyle {\mbox{Vect}}(A)\subset {\mbox{Vect}}(B)}$ ;
  • extensive : ${\displaystyle A\subset {\mbox{Vect}}(A)}$ ;
  • idempotente : ${\displaystyle {\mbox{Vect}}({\mbox{Vect}}(A))={\mbox{Vect}}(A)}$.

Ses points fixes sont les sous-espaces vectoriels de E : ${\displaystyle {\mbox{Vect}}(A)=A}$ si et seulement si A est un sous-espace vectoriel de E.