Symbole delta de Kronecker

En mathématiques, le symbole delta de Kronecker^[1],[2], également appelé symbole de Kronecker^{[3],[4],[5],[6]} ou delta de Kronecker^{[7],[8],[6],[9]}, est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

${\displaystyle \delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}}$

ou, en notation tensorielle :

${\displaystyle \delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}}$

où δ_i et δ^j sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

${\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}}$

Histoire

L'éponyme du symbole de Kronecker^{[10],[11],[12]} est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en 1866^{[13],[14],[15]}.

Exemples

Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

• en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :${\displaystyle (\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$ ;
• lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications :${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.}$