Tétraèdre régulier

En géométrie, le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 arêtes et 4 sommets. Il fait partie des cinq solides de Platon. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 4 sommets et une sphère inscrite tangente à ses 4 faces.

Tétraèdre régulier
Type	Solide de Platon
Type de faces	4×{3}
Configuration de sommet	3.3.3
Faces	4
Arêtes	6
Sommets	4
Caractéristique	2
Symbole de Schläfli	{3,3} s{2,2}
Symbole de Wythoff	3 | 2 3 | 2 2 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Type de faces	4×{3}
Références d'indexation	U01, C15, W1
Dual	Auto-dual
Groupe de symétrie	Td
Angle dièdre	arccos(1/3) 70,529°
Propriétés	Uniforme, convexe, deltaèdre
3.3.3 (Figure de sommet)	Auto-dual (Dual)
Patron
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Comme il a 3 sommets par face, et 3 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques

Si a est la longueur d'une arête :

• sa hauteur est égale à : ${\displaystyle H={\sqrt {\frac {2}{3}}}~a}$ ;
• son centre est situé, par rapport à la base, à : ${\displaystyle h={\frac {H}{4}}={\frac {a}{2{\sqrt {6}}}}}$ ;
• le rayon de sa sphère circonscrite est : ${\displaystyle R={\frac {3}{4}}H={\sqrt {\frac {3}{8}}}a}$ ;
• le rayon de sa sphère inscrite est : ${\displaystyle r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}}$ ;
• son aire est : ${\displaystyle A={\sqrt {3}}a^{2}}$ ;
• son volume est : ${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}}$ ;
• son angle dièdre vaut ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\simeq 70,5288^{\circ }}$ ;
• son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 109^{\circ }28'}$ , double de l'angle dit « magique ».
• l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut ${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\simeq 0,55129}$ stéradians ;
• Les 4 points de coordonnées ${\displaystyle (1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)}$ sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête a = 2√2 centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

Propriétés diverses

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique S₄ . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné A₄.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée, en prenant comme plan de coupe le plan parallèle à deux arêtes orthogonales, passant par le milieu des quatre autres arêtes.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

• 
  Tétraèdre régulier inscrit dans un cube.
• 
  Auto-dualité du tétraèdre régulier.
• 
  Composé de deux tétraèdres réguliers appelé stella octangula ou octangle étoilé.