Tétraèdre trirectangle

En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droit aboutissent au même sommet. Ce sommet H est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de H est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de H).

Un tétraèdre trirectangle construit sur un trièdre trirectangle.

Coordonnées des points remarquables

Soient A, B, C les sommets de la base, ${\displaystyle a=HA,b=HB,c=HC}$ ; dans le repère orthonormé ${\displaystyle (H,{\overrightarrow {HA}}/a,{\overrightarrow {HB}}/b,{\overrightarrow {HC}}/c)}$ , on a les expressions suivantes :

• ${\displaystyle A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)}$
• le centre de gravité ${\displaystyle G(a/4,b/4,c/4)}$ qui est à la fois l'isobarycentre des sommets et le centre d'inertie du solide tétraédrique homogène.

Démonstration

On peut le montrer en faisant

${\displaystyle x_{G}={\frac {6}{abc}}\int _{0}^{a}\left(\int _{0}^{b(1-{\frac {x}{a}})}\left(\int _{0}^{c(1-{\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}})}x\,\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x={\frac {a}{4}}}$.

et de façon similaire pour y_G et z_G.

• le centre de gravité de la base ${\displaystyle I(a/3,b/3,c/3)}$
• le centre de la sphère circonscrite ${\displaystyle O(a/2,b/2,c/2)}$, laquelle est de rayon ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
• L'équation du plan de la base : ${\displaystyle x/a+y/b+z/c=1}$

Formules métriques

Le tétraèdre trirectangle a pour volume

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}.}$

La longueur h de la hauteur satisfait ^[1],[2]

${\displaystyle {\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.}$

L'aire ${\displaystyle S_{0}}$ de la base est donnée par ^[3]

${\displaystyle S_{0}={\frac {abc}{2h}}.}$

Construction

Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle ABC (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles ${\displaystyle BCD_{1},CAD_{2},ABD_{3}}$ aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant ${\displaystyle a=AD_{2}=AD_{3},b=BD_{3}=BD_{1},c=CD_{1}=CD_{2}}$, on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

• ${\displaystyle x^{2}=b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle y^{2}=a^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}}$

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

• ${\displaystyle 2a^{2}=-x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
• ${\displaystyle 2b^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}}$
• ${\displaystyle 2c^{2}=x^{2}+y^{2}-z^{2}}$

Théorème de de Gua

Si l'aire de la base est ${\displaystyle S_{0}}$ et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ et ${\displaystyle S_{3}}$, alors

${\displaystyle S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}$

C'est une généralisation au tétraèdre du théorème de Pythagore.

Cas particulier

Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à ${\displaystyle a=b=c}$, on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier ^[4].

Parallélépipède circonscrit

Le parallélépipède circonscrit a pour sommets ${\displaystyle H,A,B,C,H'(a/2,b/2,c/2)=O,A'(-a/2,b/2,c/2),B'(a/2,-b/2,c/2),C'(a/2,b/2,-c/2)}$.

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$, et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

Articles connexes

• Simplexe
• Brique Euler, tétraèdre trirectangle dont les six arêtes ont des longueurs entières.