Théorème de Liouville (variable complexe)

En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante.
Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier^[1].

Joseph Liouville.

Énoncé

Le théorème de Liouville s'énonce ainsi :

Théorème de Liouville — Si f est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe, alors f est constante dès lors qu'elle est bornée.

Ce théorème peut être amélioré :

Théorème — Si f est une fonction entière à croissance polynomiale de degré au plus k, au sens où :

${\displaystyle \exists (A,B)\in (\mathbb {R} _{+})^{2},\ \forall z\in \mathbb {C} ,\quad |f(z)|\leq A+B|z|^{k}}$

alors f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à k.

Démonstration

La démonstration proposée, relativement courte, s'appuie sur l'inégalité de Cauchy. D'autres démonstrations possibles reposent indirectement sur la formule intégrale de Cauchy^[2].

Premier énoncé

Soit une fonction entière f, qui soit bornée sur C. Dans ce cas, il existe un majorant M du module de f. L'inégalité de Cauchy s'applique à f et à tout disque de centre z et de rayon R ; elle donne :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\quad \left|f'(z)\right|\leq {\frac {M}{R}}}$.

Si on fixe z et qu'on fait tendre R vers l'infini, il vient :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\quad f'(z)=0}$.

Par conséquent, la dérivée de f est partout nulle, donc f est constante.

Second énoncé

On suppose que la fonction entière f est à croissance polynomiale. L'inégalité de Cauchy est de nouveau appliquée au disque de centre z et de rayon R :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\quad {\frac {\left|f^{(k+1)}(z)\right|}{(k+1)!}}\leq {\frac {\sup\{|f(w)|,|w-z|=R\}}{R^{k+1}}}\leq {\frac {A+B{\left(|z|+R\right)}^{k}}{R^{k+1}}}}$.

À nouveau, en faisant tendre R vers l'infini, il vient :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\quad f^{(k+1)}(z)=0}$

Par primitivations successives, la fonction f est une fonction polynomiale en z et son degré est inférieur ou égal à k.

Le théorème peut être démontré en utilisant la formule intégrale de Cauchy pour montrer que la dérivée complexe de f est identiquement nulle, mais ce n'est pas ainsi que Liouville l'a démontré ; et plus tard Cauchy disputa à Liouville la paternité du résultat. Les historiens ^[Qui ?] estiment cependant qu'il n'y a pas là manifestation de la loi de Stigler : Cauchy aurait pu facilement le démontrer avant Liouville mais ne l'a pas fait.

Le théorème est considérablement amélioré par le petit théorème de Picard, qui énonce que toute fonction entière non constante prend tous les nombres complexes comme valeurs, à l'exception d'au plus un point.

Applications

Théorème de d'Alembert-Gauss

Le théorème de d'Alembert-Gauss (ou encore théorème fondamental de l'algèbre) affirme que tout polynôme complexe non constant admet une racine. Autrement dit, le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Ce théorème peut être démontré en utilisant des outils d'analyse, et en particulier le théorème de Liouville énoncé ci-dessus, voir l'article détaillé pour la démonstration.

Étude de la sphère de Riemann

En termes de surface de Riemann, le théorème peut être généralisé de la manière suivante : si M est une surface de Riemann parabolique (le plan complexe par exemple) et si N est une surface hyperbolique (un disque ouvert par exemple), alors toute fonction holomorphe f : M → N doit être constante.

Fonctions elliptiques

Il est aussi utilisé pour établir qu'une fonction elliptique sans pôles est constante ; c'est d'ailleurs cela que Liouville avait primitivement établi.