Théorème de Poincaré-Hopf

En mathématiques, le théorème de Poincaré-Hopf (aussi connu sous le nom de « formule de Poincaré-Hopf », ou « théorème de l'indice de Poincaré-Hopf », ou encore « théorème de l'indice de Hopf ») est un important résultat en géométrie différentielle. Il a été prouvé en dimension 2 par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf.

Théorème — Soit ${\displaystyle M}$ une variété différentielle compacte. Soit ${\displaystyle v}$ un champ vectoriel sur ${\displaystyle M}$ avec des zéros isolés. Si ${\displaystyle M}$ a un bord, ${\displaystyle v}$ doit pointer dans la direction normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante :

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{v}(x_{i})=\chi (M)}$

où la somme est celle des indices de tous les zéros isolés de ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle \chi (M)}$ est la caractéristique d'Euler de ${\displaystyle M}$.

Conséquence

On en déduit en particulier le théorème de la boule chevelue : la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sphère Sⁿ valant 2 si n est pair, tout champ de vecteurs sur cette sphère doit s'annuler.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré–Hopf theorem » (voir la liste des auteurs).

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