Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Contexte

Système dynamique

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet ${\displaystyle (X,\mu ,\phi )}$ où :

• ${\displaystyle X}$ est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
• ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie sur ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle \phi :X\to X}$ est une fonction mesurable préservant la mesure ${\displaystyle \mu }$, c’est-à-dire telle que :

${\displaystyle \forall \ A\subset X\ ,\quad (\mu \circ \phi ^{-1})(A)\ =\ \mu \left[\phi ^{-1}(A)\right]\ =\ \mu (A)}$.

Récurrence d'un point

Soit ${\displaystyle A\subset X}$ un sous-ensemble mesurable. Un point ${\displaystyle x\in X}$ est dit récurrent par rapport à ${\displaystyle A}$ si

${\displaystyle \phi ^{k}(x)\in A}$ pour une infinité d'entiers ${\displaystyle k}$.

Autrement dit : ${\displaystyle x}$ est récurrent par rapport à ${\displaystyle A}$ si pour tout entier naturel ${\displaystyle p}$, il existe un entier ${\displaystyle k\geq p}$ tel que ${\displaystyle \phi ^{k}(x)\in A}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle x\in \cap _{p\in \mathbb {N} }\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)}$.

Théorème de récurrence de Poincaré

Soit ${\displaystyle A\subset X}$ un sous-ensemble mesurable pour la mesure ${\displaystyle \mu }$. Alors, presque tous^[1] les points de ${\displaystyle A}$ sont récurrents par rapport à ${\displaystyle A}$^[2],[3].

Démonstration

Posons ${\displaystyle U_{p}=\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)}$ (pour tout entier naturel ${\displaystyle p}$) et ${\displaystyle U=\cap _{p\in \mathbb {N} }U_{p}}$.

Il s'agit de prouver que l'ensemble ${\displaystyle A\setminus U=\cup _{p\in \mathbb {N} }\left(A\setminus U_{p}\right)}$ des points de ${\displaystyle A}$ non récurrents par rapport à ${\displaystyle A}$ est de mesure nulle^[4], c'est-à-dire (puisqu'il s'agit d'une union dénombrable) que chaque ${\displaystyle A\setminus U_{p}}$ est de mesure nulle.

De ${\displaystyle U_{p+1}=\phi ^{-1}(U_{p})}$ et ${\displaystyle \mu \left[\phi ^{-1}(U_{p})\right]=\mu (U_{p})}$, on déduit que tous les ${\displaystyle U_{p}}$ ont même mesure.

On conclut en utilisant que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle U_{p}}$ sont inclus dans ${\displaystyle U_{0}}$ :

${\displaystyle \mu \left(A\setminus U_{p}\right)\leq \mu \left(U_{0}\setminus U_{p}\right)=\mu \left(U_{0}\right)-\mu \left(U_{p}\right)=0}$.

Histoire

Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique^[5]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre^[6].