Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

${\displaystyle A=PTP^{-1}.}$

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)}$ désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

Matrices triangulaires

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n,n}\end{pmatrix}}.}$

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

• Soit ${\displaystyle M\in \operatorname {M} _{n}(K)}$, on dit que ${\displaystyle M}$ est une matrice trigonalisable^[1] s'il existe une matrice inversible ${\displaystyle P\in GL_{n}(K)}$ et une matrice triangulaire supérieure ${\displaystyle T\in \operatorname {M} _{n}(K)}$ telles que :${\displaystyle M=PTP^{-1}}$ (ou, ce qui est équivalent : ${\displaystyle T=P^{-1}MP}$).Cela revient à dire que ${\displaystyle M}$ est semblable dans ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)}$ à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent^[2]).
  En particulier :
  • toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir ${\displaystyle P=I_{n}}$ où ${\displaystyle I_{n}}$ est la matrice identité de dimension ${\displaystyle n}$) ;
  • toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
• Soient ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel de dimension finie et ${\displaystyle u}$ un endomorphisme de ${\displaystyle E}$. On dit que ${\displaystyle u}$ est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de ${\displaystyle E}$ dans laquelle la matrice de ${\displaystyle u}$ est triangulaire supérieure.
• Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de ${\displaystyle E}$ est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de ${\displaystyle E}$ est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]^[2].

  En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.

  Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

Théorème de décomposition de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormée.

• Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.