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Variété (algèbre)
collection d'algèbres en algèbre universelle selon la théorie des catégories De Wikipédia, l'encyclopédie libre
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Pour les articles homonymes, voir variété.
En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).
Cet article ne cite pas suffisamment ses sources ().
Ne pas confondre avec la notion de variété algébrique.
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Exemple
Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées :
- (x * y) * z = x * (y * z)
- x * e = x
- e * x = x
De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.
Théorème HSP
D'après la définition, toute variété K vérifie :
- (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
- (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
- (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.
Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935)[1],[2] énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.
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Notes et références
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