For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Aplicación linear.

Aplicación linear

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear a aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan e espazos vectoriais sobre o mesmo corpo . Unha aplicación de en é unha transformación linear se para todo par de vectores e para todo escalar , se satisfai que:
  1. .

Exemplos

  1. A aplicación que envía en (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera como un -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como -espazo vectorial, xa que .
  2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade , que resulta unha transformación linear.
  3. As homotecias: con . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
  4. Dada unha matriz , a función definida como é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
  5. Sexa o conxunto de funcións continuas en e defínase mediante , ocorre que:
e
para
Polo tanto, cúmprese que e para todo e en e todo , así que é unha aplicación linear de en .[1]

Propiedades das transformacións lineares

Sexan e espazos vectoriais sobre (onde representa o corpo), satisfaise que: Se é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de como:


É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

  1. dado que (para probar isto, obsérvese que ).
  2. Dados
  3. Dados

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo.

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

  • A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
  • O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas

Se f1: e f2: son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)).

Se f : é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f: forma un subespazo das funcións de en W. A este subespazo denótase L(,) ou Hom(,). A dimensión de L(,) é igual ao produto das dimensións de e .

Se f: e g: son lineares entón a súa composición gf: tamén o é.

Dado un espazo vectorial , o espazo vectorial L(,), que adoita denotarse End(), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f: é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións

  • Sexa B = {vi: iJ} base de e C = {wi: iJ} unha colección de vectores de non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:
  • Sexa unha transformación linear.
entón

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares

  • Funcional linear: So as transformación lineares (onde é o corpo base de V).
  • Monomorfismo: Se é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo.
  • Epimorfismo: Se é sobrexectiva.
  • Isomorfismo: Se é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
  • Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
  • Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear

Se e teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de en pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan : unha transformación linear, B={v1, ..., vn} unha base de , C={w1, ..., wm} base de . Para calcular a matriz asociada a bas bases B e C cómpre calcular (vi) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: (v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., (vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:

.

Como un vector de se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u1, ..., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear : tal que C [T] B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para calquera a,b∈ℝ, T,SL(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L(,) e Mn×mC (K).

De restrinxirse ao caso =, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Notas

  1. "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Aplicación linear
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.