Argumento (análise complexa)

Nas matemáticas, o argumento, abreviado como arg, dun número complexo z é o ángulo entre o eixo real positivo no plano complexo e a recta que une z coa orixe deste plano.

Un número complexo pode ser visualmente representado como um punto localizado no plano complexo. O valor do ángulo ${\displaystyle \varphi }$ é o argumento do número complexo ${\displaystyle z=~x~+~iy}$.

Definición

O argumento defínese de dúas formas equivalentes:

• Xeométricamente, na relación do plano complexo, arg z é o ángulo φ no eixo real positivo representado polo vector z. O valor numérico vén dado polo ángulo en radiáns e é positivo se se mide no sentido antihorario.
• Alxebricamente, un argumento dun número complexo z = x + iy é calquera valor real ${\displaystyle \phi }$ tal que

${\displaystyle z=x+iy=r\cos \phi +ir\sin \phi \ }$

para algún r real positivo. A unidade r é o módulo de z, escrito como

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\ .}$

Os termos amplitude^[1] ou fase^[2] úsanse ás veces para representar esta igualdade.

Baixo ambas as definicións, pódese ver que o argumento para calquera número complexo distinto de cero ten moitos valores posíbeis: en primeiro lugar, como ángulo xeométrico, é evidente que todas as rotacións da circunferencia non alteran o punto, polo que os ángulos diferentes por un múltiplo enteiro de 2π radiáns (nunha circunferencia completa) é o mesmo. Así mesmo, a partir da periodicidade do seno e do coseno, a segunda definición tamén ten esta propiedade.

Notación

A notación para o argumento non é universal. Porén, é común denotalo como ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)}$.

Formularios de cálculo

O argumento a partir dun número complexo ${\displaystyle z\,\!}$ pódese obter de varias maneiras, incluíndo:

• Dado ${\displaystyle z=a+bi\,\!}$ (forma rectangular), podemos obter ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)}$;
• dado ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }\,\!}$ (forma polar e forma exponencial), temos ${\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\theta }$.
• dado ${\displaystyle z=a+bi\!}$ e sabendo que ${\displaystyle {cos\theta }={\frac {a}{|z|}}}$ e ${\displaystyle {sen\theta }={\frac {b}{|z|}}}$, onde ${\displaystyle |z|\!}$ é a distancia entre ${\displaystyle O\!}$ e o punto ${\displaystyle Z\!}$ ; procuramos os valores de sen e cos e así atoparemos na táboa trigonométrica que ángulo ten estes valores para seno e coseno.