Se e só se

Na lóxica e campos relacionados, como as matemáticas e a filosofía, "se e só se" (en inglés abreviado como "iff") é a frase indicando o bicondicional, un conectivo lóxico ^[1] entre enunciados. O bicondicional é verdadeiro en dous casos, onde ambas as afirmacións son verdadeiras ou ambas as dúas son falsas. O conectivo é unha declaración de equivalencia material,^[2] o resultado é que a verdade dun dos enunciados conectados require a verdade do outro (é dicir, ou ambos os enunciados son verdadeiros, ou ambos os dous son falsos). Por exemplo, P se e só se Q significa que P é verdade sempre que Q é verdadeira, e o único caso no que P é verdadeira é se Q tamén é verdadeira.

Equivalencia

Diagrama de Venn da equivalencia material (en vermello a parte verdadeira)
Outros nomes	bicondicional se e só se necesario e suficiente iff
linguaxe natural	se e só se
linguaxe formal	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
outros símbolos	${\displaystyle \iff }$, ${\displaystyle \equiv }$
táboa de verdade	${\displaystyle {\begin{array}{c||c}A&B&A\leftrightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}}$
porta lóxica

Na escrita, as frases que se usan habitualmente como alternativas inclúen: Q é necesaria e suficiente para P, para P é necesario e suficiente que Q, P é equivalente a Q, P exactamente no caso de Q, e P só no caso de Q. Nas fórmulas lóxicas, empréganse os símbolos lóxicos, como ${\displaystyle \leftrightarrow }$ e ${\displaystyle \Leftrightarrow }$.^[3]

Definición

 

${\displaystyle \neg P\land \neg Q}$

${\displaystyle P\land Q}$

${\displaystyle P\rightarrow Q}$

${\displaystyle P\leftarrow Q}$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

A táboa de verdade de P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Q é a seguinte:^[4][5]

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \neg P\land \neg Q}$	${\displaystyle P\land Q}$	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftarrow Q}$	${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$
F	F	V	F	V	V	V
F	V	F	F	V	F	F
V	F	F	F	F	V	F
V	V	F	V	V	V	V

(onde V é verdadeiro e F é falso).

Uso

Notación

Os símbolos lóxicos correspondentes son "${\displaystyle \leftrightarrow }$", "${\displaystyle \Leftrightarrow }$", ^[3] e ${\displaystyle \equiv }$, ^[6] e ás veces "iff" (polo inglés "if and only if"). Normalmente trátanse como equivalentes. Na notación polaca de Łukasiewicz, é o símbolo do prefixo ${\displaystyle E}$. ^[7]

Outro termo para o conectivo lóxico, é dicir, o símbolo nas fórmulas lóxicas, é o nor exclusivo (XNOR), que é un ou outro exclusivo e finalmente negado (non ou exclusivo).

En TeX e a súa variante LaTeX, "se e só se" móstrase como unha dupla frecha longa: ${\displaystyle \iff }$ mediante os comandos \iff ou \Longleftrightarrow.^[8]

Uso nas probas

Na maioría dos sistemas lóxicos, pódese probar unha afirmación da forma "P se o só se Q" demostrando "se P, logo Q" e "se Q, logo P", ou "se P, logo Q" e "se non-P, logo non-Q". Probar estes pares de enunciados ás veces leva a unha proba máis natural, xa que non hai condicións obvias nas que se inferiría directamente un bicondicional. Unha alternativa é probar a disxunción "(P e Q) ou (non-P e non-Q)", que se pode deducir directamente de calquera das súas disxuncións, é dicir, como "se e só se" é función de verdade, "P se e só se Q" obtense se se demostrou que P e Q son ambos os dous verdadeiros ou falsos.

En termos de diagramas de Euler

• 
  A é un subconxunto propio de B. Un número só está en A se está en B; un número está en B se está en A.
• 
  C é un subconxunto mais non é un subconxunto propio de B. Un número está en B se e só se está en C, e un número está en C se e só se está en B.

Os diagramas de Euler mostran relacións lóxicas entre eventos, propiedades, etc. "P só se Q", "se P logo Q" e "P→Q" todos significan que P é un subconxunto, propio ou impropio, de Q. "P se Q", "se Q logo P" e Q→P todos significan que Q é un subconxunto propio ou impropio de P. "P se e só se Q" e "Q se e só se P" significan que os conxuntos P e Q son idénticos entre si.