Continuidade uniforme

Dados dous espazos métricos ${\displaystyle (X,d_{X})}$ e ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, e ${\displaystyle M\subseteq X}$ entón unha función ${\displaystyle f:M\to Y}$ dise uniformemente continua en M se para calquera número real ${\displaystyle \epsilon >0}$ existe ${\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}$ tal que para todo ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in M}$ con ${\displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$, tense que ${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon }$.

No espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} }$, unha función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ é uniformemente continua nun intervalo ${\displaystyle \ A}$ se para calquera ${\displaystyle \epsilon >0}$ existe algún ${\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}$ tal que para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ se cumpre que se ${\displaystyle |x-y|<\delta }$, entón ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

Unha función uniformemente continua difire dunha función continua na dependencia de ${\displaystyle \delta }$, pois no primeiro caso só depende de ${\displaystyle \epsilon }$, mentres que no segundo tamén depende do punto considerado. De aí a denominación de "uniforme".

Exemplos

• A función 1/x con x>0 é continua pero non é uniformemente continua
• A función x é uniformemente continua en calquera intervalo compacto (i.e. pechado e limitado).