Cotanxente

A cotanxente, co símbolo habitual cot ou cotan, é unha función trigonométrica.

Definición

Gráfica da función cotanxente.

Xeométricamente, nun triángulo rectángulo ABC con hipotenusa AB :

${\displaystyle \cot {\hat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}} }$

En trigonometría :

${\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }}$

Propiedades

A función cotanxente verifica a igualdade :

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$

A derivada da cotanxente é :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$

A antiderivada da cotanxente é :

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$

Temos a expansión da serie de Laurent, onde ${\displaystyle B_{k}}$ designa o k-ésimo número de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$

máis tamén

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$

do que deducimos

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$