Función croque

En matemáticas, unha función croque (tamén chamada función vulto ou función de test, en inglés: Bump function) é unha función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ nun espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que é suave (no sentido de ter derivadas continuas de todas as ordes) e con soporte compacto. O conxunto de todas as funcións croque con dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ forma un espazo vectorial, denotado ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ou ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$ O espazo dual deste espazo dotado dunha topoloxía adecuada é o espazo de distribucións.

A gráfica da función croque ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ onde ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$ e ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$

Exemplos

A función croque unidimensional ${\displaystyle \Psi (x).}$

A función ${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } dada por $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right),&{\text{ se }}|x|<1,\\0,&{\text{ se }}|x|\geq 1,\end{cases}}}$$

é un exemplo dunha función croque nunha dimensión. Note que o soporte desta función é o intervalo pechado ${\displaystyle [-1,1]}$. De feito, por definición de soporte, temos que ${\displaystyle \operatorname {supp} (\Psi ):={\overline {\{x\in \mathbb {R}$ :\Psi (x)\neq 0\}}}={\overline {(-1,1)}}} , onde o pechamento tómase en relación á topoloxía euclidiana da recta real.

A demostración da suavidade segue as mesmas liñas que para a función relacionada discutida no artigo Función suave non analítica. Esta función pode interpretarse como a función gaussiana ${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$ escalada para caber no disco unidade: a substitución ${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$ corresponde a enviar ${\displaystyle x=\pm 1}$ a ${\displaystyle y=\infty .}$

Un exemplo simple dunha función croque en ${\displaystyle n}$ variábeis obtense tomando o produto de ${\displaystyle n}$ copias da función croque anterior nunha variábel, así $${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

Unha función croque radialmente simétrica en ${\displaystyle n}$ variábeis pode formarse tomando a función ${\displaystyle \Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)}$. Esta función está soportada na bola unidade centrada na orixe.

Para outro exemplo, tome unha función ${\displaystyle h}$ que é positiva en ${\displaystyle (c,d)}$ e cero noutro caso, por exemplo

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}$.

Funcións de transición suave

A función suave non analítica f(x) considerada no artigo.

Considere a función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$

definida para todo número real x.

A transición suave g de 0 a 1 definida aquí.

A función

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

ten un denominador estritamente positivo en toda a recta real, polo que g tamén é suave. A maiores, g(x) = 0 para x ≤ 0 e g(x) = 1 para x ≥ 1, polo que proporciona unha transición suave do nivel 0 ao nivel 1 no intervalo unidade [0, 1]. Para ter a transición suave no intervalo real [a, b] con a < b, considere a función

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Para números reais a < b < c < d, a función suave

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

é igual a 1 no intervalo pechado [b, c] e desaparece fóra do intervalo aberto (a, d), polo que pode servir como unha función croque.

Debe terse coidado xa que, por exemplo, tomando ${\displaystyle \{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}}$, obtense:

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

que non é unha función infinitamente diferenciábel (polo tanto, non é "suave"), polo que as restricións a < b < c < d deben cumprirse estritamente.

Algúns feitos interesantes sobre a función:

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$

son que ${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$ produce curvas de transición suave con beiras de pendente "case" constante (unha función croque con pendentes rectas verdadeiras represéntase neste outro exemplo: Ecuación diferencial con retardo).

Un exemplo adecuado dunha función croque suave sería:

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,{\text{se }}x=0,\\0,{\text{se }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{en caso contrario}},\end{cases}}}$

Un exemplo adecuado dunha función de transición suave sería:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{se }}0<x<1,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\\1&{\text{se }}x\geq 1,\end{cases}}}$

onde se pode notar que tamén se pode representar mediante funcións hiperbólicas:

Unha ilustración dos conxuntos na construción.

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

Existencia de funcións croque

É posíbel construír funcións croque "a medida". Formalmente, se ${\displaystyle K}$ é un conxunto compacto arbitrario en ${\displaystyle n}$ dimensións e ${\displaystyle U}$ é un conxunto aberto que contén a ${\displaystyle K,}$ existe unha función croque ${\displaystyle \phi }$ que é ${\displaystyle 1}$ en ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle 0}$ fóra de ${\displaystyle U.}$ Dado que ${\displaystyle U}$ pode tomarse como unha veciñanza moi pequena de ${\displaystyle K,}$ isto equivale a ser capaz de construír unha función que é ${\displaystyle 1}$ en ${\displaystyle K}$ e decae rapidamente a ${\displaystyle 0}$ fóra de ${\displaystyle K,}$ mentres segue a ser suave.