Función limitada

En matemáticas, unha función ${\displaystyle f}$ definida nalgún conxunto ${\displaystyle X}$ con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real ${\displaystyle M}$ tal que

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece.

para todo ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle X}$.^[1] No caso contrario a función dise que é non limitada. 

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde ${\displaystyle X}$ tómase como o conxunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dos números naturais. Así unha secuencia ${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ está limitada se existe un número real ${\displaystyle M}$ tal que

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

para cada número natural ${\displaystyle n}$. O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións ${\displaystyle l^{\infty }}$.

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ tomando valores nun espazo máis xeral ${\displaystyle Y}$ ao esixir que a imaxe ${\displaystyle f(X)}$ sexa un conxunto limitado ${\displaystyle Y}$. 

Nocións relacionadas

Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente, cando está limitada en cada punto.

Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante.

Exemplos

• A función seno, ${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } está limitada xa que ${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$ para todas as ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.^[1][2]
• A función ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$, definida para todos os ${\displaystyle x}$ reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que ${\displaystyle x}$ se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, ${\displaystyle [2,\infty )}$ ou ${\displaystyle (-\infty ,-2]}$.
• A función ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$, definida para todos os ${\displaystyle x}$ reais, está limitada, xa que ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ para todos os ${\displaystyle x}$.
• A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: ${\displaystyle y=\arctan(x)}$ ou ${\displaystyle x=\tan(y)}$ é crecente para todos os números reais ${\displaystyle x}$ e limitados por ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ radiáns^[3]
• Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$, está limitada.^[4] De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
• Todas as funcións de valores complexos ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville.^[5] En particular, a función complexa ${\displaystyle \sin$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } debe ser non limitada xa que é enteira.
• A función ${\displaystyle f}$ que toma o valor 0 para ${\displaystyle x}$ número racional e 1 para ${\displaystyle x}$ número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en ${\displaystyle [0,1]}$ é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle g(x,y):=x+y}$ e ${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$ son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.^[6](No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.^[6])