Mediana (cálculo)

Na estatística, a mediana^[1] é unha medida de posición que representa o valor central da variable nun conxunto de datos ordenados.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Mediana.

Cálculo

Existen dous métodos para o cálculo da mediana, considerando os datos en forma individual, sen agrupalos ou empregando o datos agrupados en intervalos de clase.

Datos sen agrupar

Sexan ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}}$ os datos dunha mostra ordenada en orde creciente e designando a mediana como ${\displaystyle M_{e}}$, distínguense dous casos:

• Se n é impar, a mediana é o valor que ocupa a posición ${\displaystyle (n+1)/2}$ porque este é o valor central. É dicir: ${\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por exemplo, se temos cinco datos que ordenados son ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, o valor central é o terceiro, ${\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor deixa dous datos por baixo del (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$) e outros dous por riba (${\displaystyle x_{4}}$, ${\displaystyle x_{5}}$).

• Se n é par, a mediana é a media aritmética dos dous valores centrais. Cando ${\displaystyle n}$ é par, os dous datos que están no centro da mostral ocupan as posicións ${\displaystyle n/2}$ e ${\displaystyle n/2+1}$. É dicir: ${\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}$.

Por exemplo, se temos seis datos que ordenados son ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, ${\displaystyle x_{6}=10}$ => Hai dous valores que están por baixo do ${\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ e outros dous que quedan por riba do seguinte dato ${\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}$. Polo tanto, a mediana deste grupo de datos é a media aritmética destes dous datos: ${\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Datos agrupados

Ao tratar con datos agrupados, se ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ coincide co valor dunha frecuencia acumulada o valor da mediana coincidirá coa abscisa correspondente. Se non coincide co valor de ningunha abscisa calcúlase a través da semellanza de triángulos no histograma ou no polígono de frecuencias acumuladas, utilizando a seguinte equivalencia:

${\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})}$

onde ${\displaystyle N_{i}}$ y ${\displaystyle N_{i-1}}$ son as frecuencias absolutas acumuladas tales que ${\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}}$, ${\displaystyle a_{i-1}}$ y ${\displaystyle a_{i}}$ son os extremos, interior e exterior, do intervalo onde se alcanza a mediana e ${\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ é a abscisa que hai que calcular, a mediana. Obsérvase que ${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ é a lonxitude dos intervalos seleccionados para o diagrama.

Exemplo para datos agrupados

Entre 1.50 e 1.60 hai 2 estudantes.
Entre 1.60 e 1.70 hai 5 estudantes.
Entre 1.70 e 1.80 hai 3 estudantes.

${\displaystyle Mediana=1.60+\left({\frac {(10/2)-2}{5}}\right)0.1=1.66}$

Método de cálculo xeral

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)-N(i-2)=N(i-1)
[xi1-xi2]	fi	fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+2)2]	f(i+1)	f(i+1)-Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.	.
[xM1-xM2]	fM	fM-N(M-1)=NM

Entón:

${\displaystyle Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})}$