Número imaxinario

En Matemáticas, un número imaxinario (ou número puramente imaxinario) é un número complexo cuxa parte real é igual a cero.

As potencias de i son cíclicas:
${\displaystyle \ \vdots }$
${\displaystyle \ i^{-2}=-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-1}=-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \vdots }$
${\displaystyle i}$ é a cuarta raíz da unidade

Pódese engadir un número imaxinario bi a un número real a para formar un número complexo da forma a + bi, onde os números reais a e b chámanse, respectivamente, a "parte real" e a "parte imaxinaria" do número complexo.^[1]

Definición

Todo número complexo pode ser escrito como ${\displaystyle a+ib}$, onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son números reais e i é a unidade imaxinaria coa propiedade de que^[2][3]

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1\,}$

O número ${\displaystyle a}$ é a parte real do número complexo, e ${\displaystyle b}$ é a parte imaxinaria. A pesar de Descartes usar inicialmente o termo "número imaxinario" para designar o que actualmente se chama "número complexo", o termo hoxe en día significa especificamente un número complexo con parte real igual a ${\displaystyle 0}$, é dicir, un número da forma ${\displaystyle ib}$, onde ${\displaystyle b}$ é un número real. Nótese que, tecnicamente, o cero ${\displaystyle 0}$ considérase como sendo un número puramente imaxinario: ${\displaystyle 0}$ é o único número complexo que é tanto real como puramente imaxinario.

Historia

Unha ilustración do plano complexo. Os números imaxinarios están no eixo de coordenadas verticais.

Rafael Bombelli estableceu por primeira vez as regras para multiplicar números complexos en 1572. René Descartes escribiu sobre eles en 1637 na súa obra La Géométrie, onde usou o termo imaxinario en sentido pexorativo, xa que na época eses números eran pobremente entendidos e considerábase que non existían. O uso dos números imaxinarios non foi aceptado amplamente ata os traballos de Leonhard Euler (1707–1783) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Interpretación xeométrica

Rotacións de 90-graos no plano complexo

Xeometricamente, os números imaxinarios atópanse no eixo vertical do plano numérico complexo, o que permite que se presenten perpendiculares ao eixo real. Este eixo vertical chámase a miúdo "eixo imaxinario"^[4]

Nesta representación, a multiplicación por i corresponde a unha rotación no sentido antihorario de 90 graos arredor da orixe, que é un cuarto de circunferencia. A multiplicación por −i corresponde a unha rotación no sentido horario de 90 graos arredor da orixe. Do mesmo xeito, multiplicando por un número puramente imaxinario bi, con b un número real, provocan unha rotación en sentido antihorario arredor da orixe en 90 graos e escalan o movemento cun factor de b. Cando b < 0, isto pódese describir como unha rotación no sentido horario de 90 graos e unha escala de |b|^[5]