Elemento enteiro

Na álxebra conmutativa, un elemento b dun anel conmutativo B dise que é enteiro sobre un subanel A de B se b é unha raíz dalgún polinomio mónico sobre A.

Se A, B son corpos, entón as nocións de "enteiro sobre" e de "extensión de enteiros" son precisamente "alxébrico sobre" e "extensións alxébricas" na teoría de corpos (xa que a raíz de calquera polinomio é a raíz dun polinomio mónico).

O caso de maior interese na teoría de números é o dos números complexos enteiros sobre Z (por exemplo, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ou ${\displaystyle 1+i}$); neste contexto, os elementos enteiros adoitan chamarse enteiros alxébricos. Os números enteiros alxébricos nunha extensión de corpo finita k dos racionais Q forman un subanel de k, chamado anel de enteiros de k, un obxecto central de estudo na teoría alxébrica de números.

Neste artigo, o termo anel entenderase como anel conmutativo cunha identidade multiplicativa.

Definición

Sexa ${\displaystyle B}$ un anel e sexa ${\displaystyle A\subset B}$ un subanel de ${\displaystyle B.}$ Un elemento ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle B}$ dise que é enteiro sobre ${\displaystyle A}$ se para algúns ${\displaystyle n\geq 1,}$ existe ${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}}$ en ${\displaystyle A}$ tal que $${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.}$$

O conxunto de elementos de ${\displaystyle B}$ que son enteiros sobre ${\displaystyle A}$ chámase peche integral (ou pechamento integral) de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B.}$ O pechamento integral de calquera subanel ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ é, en si, un subanel de ${\displaystyle B}$ e contén ${\displaystyle A.}$ Se todo elemento de ${\displaystyle B}$ é enteiro sobre ${\displaystyle A,}$ entón dicimos que ${\displaystyle B}$ é enteiro sobre ${\displaystyle A}$, ou equivalentemente ${\displaystyle B}$ é unha extensión enteira de ${\displaystyle A.}$

Exemplos

Peche integral na teoría alxébrica de números

Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ (ou ${\displaystyle L/\mathbb {Q} _{p}}$).

Peche integral de números enteiros en racionais

Os enteiros son os únicos elementos de Q que son enteiros sobre Z. Noutras palabras, Z é o peche integral de Z en Q.

Extensións cadráticas

Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z} }$, e son enteiros sobre Z. ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ é entón o peche integral de Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$ . Normalmente denótase este anel ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}}$ .

O peche integral de Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$ é o anel

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}$

Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$ e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.

Pechamento integral

Sexan A ⊂ B aneis e A' o peche integral de A en B. (Ver arriba para a definición.)

Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto S de A pechado multiplicativamente, a localización S ⁻¹ A' é o peche integral de S ⁻¹ A en S ⁻¹ B, e ${\displaystyle A'[t]}$ é o peche integral de ${\displaystyle A[t]}$ en ${\displaystyle B[t]}$. ^[1] Se ${\displaystyle A_{i}}$ son subaneis de aneis ${\displaystyle B_{i},1\leq i\leq n}$, entón o peche integral de ${\displaystyle \prod A_{i}}$ en ${\displaystyle \prod B_{i}}$ é ${\displaystyle \prod {A_{i}}'}$ onde ${\displaystyle {A_{i}}'}$ son os peches integrais de ${\displaystyle A_{i}}$ en ${\displaystyle B_{i}}$. ^[2]

---

Este artigo é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.

---