Secante (matemáticas)

A secante, é a razón trigonométrica recíproca do coseno:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {c}{b}}}$

Forma xeométrica

Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}}$

Representación gráfica

Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:

Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a: ${\displaystyle +\infty }$.

${\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\cos(\alpha )=0^{+}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{+}}}=+\infty }$

mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a: ${\displaystyle -\infty }$.

${\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\cos(\alpha )=0^{-}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{-}}}=-\infty }$

Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Valores significativos

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que ${\displaystyle \sec x={1 \over \cos x}}$:^[1]

${\displaystyle x}$ en radiáns	0	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle x}$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \nexists }$	${\displaystyle 1}$

Derivadas

As derivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente^[2]:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).}$

Relación trigonométrica secante-cosecante

Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría ${\displaystyle (\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)}$ é a seguinte relación entre a secante e a cosecante:

${\displaystyle \mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x}$

para todo ${\displaystyle x\neq k{\pi \over 2}}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental por ${\displaystyle \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}$.